寻找最大的 K 个数

寻找最大的 K 个数

 

 

 

 

 

 

 

在面试中，有下面的问答：

 

问：有很多个无序的数，我们姑且假定它们各不相等，怎么选出其中最大的 若干个数呢？

答：可以这样写：int array[100] …… 问：好，如果有更多的元素呢？ 答：那可以改为：int array[1000]  ……

问：如果我们有很多元素，例如 1 亿个浮点数，怎么办？

答：个，十，百，千，万……那可以写：float array [100 000 000] ……

问：这样的程序能编译运行么？ 答：嗯……我从来没写过这么多的 0  ……

 

 

 

分析与解法

 

【解法一】

 

当学生们信笔写下 float array [10000000]，他们往往没有想到这个数据结构 要如何在电脑上实现，是从当前程序的栈（Stack）中分配，还是堆（Heap）， 还是电脑的内存也许放不下这么大的东西？

 

我们先假设元素的数量不大，例如在几千个左右，在这种情况下，那我 们就排序一下吧。在这里，快速排序或堆排序都是不错的选择，他们的平均 时间复杂度都是 O（N* log2N）。然后取出前 K个，O（K）。总时间复杂度O

（N* log2N）+ O（K） =O（N * log2N）。

 

你一定注意到了，当 K=1 时，上面的算法也是 O（N * log2N）的复杂度， 而显然我们可以通过N-1 次的比较和交换得到结果。上面的算法把整个数组都进行了排序，而原题目只要求最大的 K 个数，并不需要前 K 个数有序，也不需 要后 N-K 个数有序。

 

怎么能够避免做后 N-K个数的排序呢？我们需要部分排序的算法，选择排 序和交换排序都是不错的选择。把 N 个数中的前 K 大个数排序出来，复杂度是 O（N* K）。

 

那一个更好呢？O（N * log2N）还是 O（N * K）？这取决于K的大小，这 是你需要在面试者那里弄清楚的问题。在 K（K< = log2N）较小的情况下，可以 选择部分排序。

 

在下一个解法中，我们会通过避免对前K 个数排序来得到更好的性能。

 

【解法二】

 

回忆一下快速排序，快排中的每一步，都是将待排数据分做两组，其中一组 的数据的任何一个数都比另一组中的任何一个大，然后再对两组分别做类似的操 作，然后继续下去……

 

在本问题中，假设 N个数存储在数组 S 中，我们从数组S 中随机找出一个 元素X，把数组分为两部分Sa 和 Sb。Sa 中的元素大于等于 X，Sb 中元素小于 X。

 

这时，有两种可能性：

 

1.Sa中元素的个数小于K，Sa中所有的数和Sb中最大的K-|Sa|个元素（|Sa|指Sa

 

中元素的个数）就是数组S中最大的K个数。

2.Sa中元素的个数大于或等于K，则需要返回Sa中最大的K个元素。 这样递归下去，不断把问题分解成更小的问题，平均时间复杂度 O（N  *

log2K）。伪代码如下：

 

代码清单 2-11

Kbig(S, k):

if(k <=0):

return []     // 返回空数组

if(length S <=k): return S

(Sa, Sb) = Partition(S)

returnKbig(Sa, k).Append(Kbig(Sb, k – lengthSa)

 

Partition(S):

Sa = []          // 初始化为空数组

Sb = []          // 初始化为空数组

// 随机选择一个数作为分组标准，以避免特殊数据下

的算法退化

 

的

 

 

p = S[1]

 

// 也可以通过对整个数据进行洗牌预处理实现这个目

 

 

// Swap(S[1], S[Random() % lengthS])

for i in [2: lengthS]:

S[i] > p ? Sa.Append(S[i]) : Sb.Append(S[i])

// 将p加入较小的组，可以避免分组失败，也使分组更均

匀，提高效率

length Sa < length Sb ? Sa.Append(p) : Sb.Append(p) return (Sa, Sb)

 

 

【解法三】

 

寻找 N 个数中最大的 K 个数，本质上就是寻找最大的 K个数中最小的那个， 也就是第 K 大的数。可以使用二分搜索的策略来寻找 N 个数中的第 K 大的数。 对于一个给定的数 p，可以在 O（N）的时间复杂度内找出所有不小于p的数。 假如 N 个数中最大的数为 Vmax，最小的数为 Vmin，那么这 N 个数中的第 K 大数 一定在区间[Vmin,Vmax]之间。那么，可以在这个区间内二分搜索 N个数中的第K 大数 p。伪代码如下：

 

代码清单 2-12

while(Vmax – Vmin >delta)

{

Vmid = Vmin + (Vmax- Vmin) *0.5; if(f(arr, N, Vmid)>= K)

Vmin = Vmid; else

Vmax =Vmid;

}

 

伪代码中 f（arr, N, Vmid）返回数组 arr[0, …,N-1]中大于等于 Vmid 的数的个

数。

 

上述伪代码中，delta 的取值要比所有 N个数中的任意两个不相等的元素差值之最小值小。如果所有元素都是整数，delta 可以取值 0.5。循环运行之后，得 到一个区间（Vmin,Vmax），这个区间仅包含一个元素（或者多个相等的元素）。这个元素就是第K大的元素。整个算法的时间复杂度为 O（N * log2（|Vmax - Vmin|

/delta））。由于 delta 的取值要比所有 N个数中的任意两个不相等的元素差值之 最小值小，因此时间复杂度跟数据分布相关。在数据分布平均的情况下，时间复

杂度为O（N* log2（N））。

 

在整数的情况下，可以从另一个角度来看这个算法。假设所有整数的大小都 在[0, 2m-1]之间，也就是说所有整数在二进制中都可以用 mbit 来表示（从低位到 高位,分别用 0, 1, …, m-1 标记）。我们可以先考察在二进制位的第（m-1）位， 将N个整数按该位为 1 或者 0 分成两个部分。也就是将整数分成取值为[0, 2m-1-1] 和[2m-1,2m-1]两个区间。前一个区间中的整数第（m-1）位为 0，后一个区间中 的整数第（m-1）位为 1。如果该位为 1 的整数个数A大于等于 K，那么，在所 有该位为 1 的整数中继续寻找最大的 K个。否则，在该位为 0 的整数中寻找最 大的K-A 个。接着考虑二进制位第（m-2）位，以此类推。思路跟上面的浮点数 的情况本质上一样。

 

对于上面两个方法，我们都需要遍历一遍整个集合，统计在该集合中大于等 于某一个数的整数有多少个。不需要做随机访问操作，如果全部数据不能载入内 存，可以每次都遍历一遍文件。经过统计，更新解所在的区间之后，再遍历一次 文件，把在新的区间中的元素存入新的文件。下一次操作的时候，不再需要遍历全部的元素。每次需要两次文件遍历，最坏情况下，总共需要遍历文件的次数为

2 * log2（|Vmax - Vmin|/delta）。由于每次更新解所在区间之后，元素数目会减少。 当所有元素能够全部载入内存之后，就可以不再通过读写文件的方式来操作了。

 

此外，寻找 N 个数中的第 K 大数，是一个经典问题。理论上，这个问题存

在线性算法。不过这个线性算法的常数项比较大，在实际应用中效果有时并不好。

 

【解法四】

 

我们已经得到了三个解法，不过这三个解法有个共同的地方，就是需要对数 据访问多次，那么就有下一个问题，如果 N很大呢，100亿？（更多的情况下， 是面试者问你这个问题）。这个时候数据不能全部装入内存（不过也很难说，说知道以后会不会 1T内存比 1 斤白菜还便宜），所以要求尽可能少的遍历所有数 据。

 

不妨设 N> K，前 K 个数中的最大K 个数是一个退化的情况，所有K 个数 就是最大的 K个数。如果考虑第K+1 个数 X呢？如果 X比最大的 K个数中的最 小的数Y 小，那么最大的 K个数还是保持不变。如果X 比 Y 大，那么最大的 K 个数应该去掉Y，而包含 X。如果用一个数组来存储最大的 K 个数，每新加入一 个数 X，就扫描一遍数组，得到数组中最小的数Y。用 X 替代 Y，或者保持原数 组不变。这样的方法，所耗费的时间为 O（N*K）。

 

进一步，可以用容量为 K的最小堆来存储最大的 K个数。最小堆的堆顶元 素就是最大 K个数中最小的一个。每次新考虑一个数X，如果 X 比堆顶的元素 Y 小，则不需要改变原来的堆，因为这个元素比最大的 K个数小。如果X比堆 顶元素大，那么用 X 替换堆顶的元素 Y。在 X 替换堆顶元素 Y 之后，X可能破 坏最小堆的结构（每个结点都比它的父亲结点大），需要更新堆来维持堆的性 质。更新过程花费的时间复杂度为 O（log2K）。

 

图 2-1

 

图 2-1是一个堆，用一个数组 h[]表示。每个元素 h[i]，它的父亲结点是 h[i/2]，

儿子结点是 h[2 * i + 1]和 h[2 * i + 2]。每新考虑一个数 X，需要进行的更新操作伪 代码如下:

 

代码清单 2-13

if(X >h[0])

{

h[0] = X; p = 0;

while(p < K)

{

q = 2 * p + 1;if(q >= K)

break;

if((q < K – 1) && (h[q + 1] < h[q]))

q = q + 1;if(h[q] < h[p])

{

t =h[p]; h[p] = h[q]; h[q] = t;   p= q;

}

else

break;

}

}

 

因此，算法只需要扫描所有的数据一次，时间复杂度为O（N* log2K）。这

实际上是部分执行了堆排序的算法。在空间方面，由于这个算法只扫描所有的数据一次，因此我们只需要存储一个容量为 K的堆。大多数情况下，堆可以全部 载入内存。如果K仍然很大，我们可以尝试先找最大的 K’个元素，然后找第 K’+1 个到第 2 * K’个元素，如此类推（其中容量K’的堆可以完全载入内存）。不过 这样，我们需要扫描所有数据 ceil1（K/K’）次。

 

【解法五】

 

上面类快速排序的方法平均时间复杂度是线性的。能否有确定的线性算法 呢？是否可以通过改进计数排序、基数排序等来得到一个更高效的算法呢？答案是肯定的。但算法的适用范围会受到一定的限制。

 

 

 

 

1  ceil（ceiling，天花板之意）表示大于等于一个浮点数的最小整数。

 

如果所有 N个数都是正整数，且它们的取值范围不太大，可以考虑申请空

间，记录每个整数出现的次数，然后再从大到小取最大的 K 个。比如，所有整 数都在（0, MAXN）区间中的话，利用一个数组 count[MAXN]来记录每个整数 出现的个数（count[i]表示整数i 在所有整数中出现的个数）。我们只需要扫描一 遍就可以得到 count数组。然后，寻找第 K大的元素：

 

代码清单 2-14

for(sumCount = 0, v = MAXN – 1; v >=0; v--)

{

sumCount += count[v];

if(sumCount >= K) break;

}

return v;

 

极端情况下，如果 N个整数各不相同，我们甚至只需要一个bit 来存储这个

整数是否存在。 当实际情况下，并不一定能保证所有元素都是正整数，且取值范围不太大。

上面的方法仍然可以推广适用。如果 N 个数中最大的数为 Vmax，最小的数为 Vmin，

我们可以把这个区间[Vmin,Vmax]分成M 块，每个小区间的跨度为 d=（Vmax –Vmin）

/M，即 [Vmin, Vmin+d], [Vmin + d, Vmin + 2d],……然后，扫描一遍所有元素，统计各 个小区间中的元素个数，跟上面方法类似地，我们可以知道第 K 大的元素在哪 一个小区间。然后，再对那个小区间，继续进行分块处理。这个方法介于解法三和类计数排序方法之间，不能保证线性。跟解法三类似地，时间复杂度为 O

（（N+M）*log2M（|Vmax - Vmin|/delta））。遍历文件的次数为 2 * log2M（|Vmax -

Vmin|/delta）。当然，我们需要找一个尽量大的 M，但 M 取值要受内存限制。 在这道题中，我们根据K 和 N 的相对大小，设计了不同的算法。在实际面

试中，如果一个面试者能针对一个问题，说出多种不同的方法，并且分析它们各

自适用的情况，那一定会给人留下深刻印象。

 

注：本题目的解答中用到了多种排序算法，这些算法在大部分的算法书籍中 都有讲解。掌握排序算法对工作也会很有帮助。

 

 

扩展问题

 

 

3.如果需要找出N个数中最大的K个不同的浮点数呢？比如，含有10个浮点

 

数的数组（1.5, 1.5, 2.5, 2.5, 3.5, 3.5, 5, 0, -1.5, 3.5）中最大的3个不同的浮

 

点数是（5, 3.5,2.5）。

 

 

4. 如果是找第k到m（0 < k < = m <= n）大的数呢？

 

 

5. 在搜索引擎中，网络上的每个网页都有“权威性”权重，如page rank。如果 我们需要寻找权重最大的K个网页，而网页的权重会不断地更新，那么算法要如何变动以达到快速更新（incremental update）并及时返回权重最大 的K个网页？

提示：堆排序？当每一个网页权重更新的时候，更新堆。还有更好的方法 吗？

 

6.   在实际应用中，还有一个“精确度”的问题。我们可能并不需要返回严格意义 上的最大的K个元素，在边界位置允许出现一些误差。当用户输入一个query的时候，对于每一个文档d来说，它跟这个query之间都有一个相关性衡量权 重f （query,d）。搜索引擎需要返回给用户的就是相关性权重最大的K个 网页。如果每页10个网页，用户不会关心第1000页开外搜索结果的“精确 度”，稍有误差是可以接受的。比如我们可以返回相关性第10     001大的网页， 而不是第9999大的。在这种情况下，算法该如何改进才能更快更有效率 呢？网页的数目可能大到一台机器无法容纳得下，这时怎么办呢？

 

提示：归并排序？如果每台机器都返回最相关的 K 个文档，那么所有机器 上最相关 K 个文档的并集肯定包含全集中最相关的 K个文档。由于边界 情况并不需要非常精确，如果每台机器返回最好的 K’个文档，那么 K’应 该如何取值，以达到我们返回最相关的 90%*K个文档是完全精确的，或 者最终返回的最相关的 K 个文档精确度超过 90%（最相关的 K 个文档中

 

90%以上在全集中相关性的确排在前K），或者最终返回的最相关的 K 个

文档最差的相关性排序没有超出 110%*K。

 

7.如第4点所说，对于每个文档d，相对于不同的关键字q1,q2,…, qm，分别 有相关性权重f（d,q1），f（d, q2）, …, f（d,qm）。如果用户输入关键字qi之后，我们已经获得了最相关的K个文档，而已知关键字qj跟关键字qi相 似，文档跟这两个关键字的权重大小比较靠近，那么关键字qi的最相关的K个文档，对寻找qj最相关的K个文档有没有帮助呢？