蓝桥杯——矩阵翻硬币

问题描述
　　小明先把硬币摆成了一个 n 行 m 列的矩阵。

　　随后，小明对每一个硬币分别进行一次 Q 操作。

　　对第x行第y列的硬币进行 Q 操作的定义：将所有第 i*x 行，第 j*y 列的硬币进行翻转。

　　其中i和j为任意使操作可行的正整数，行号和列号都是从1开始。

　　当小明对所有硬币都进行了一次 Q 操作后，他发现了一个奇迹——所有硬币均为正面朝上。

　　小明想知道最开始有多少枚硬币是反面朝上的。于是，他向他的好朋友小M寻求帮助。

　　聪明的小M告诉小明，只需要对所有硬币再进行一次Q操作，即可恢复到最开始的状态。然而小明很懒，不愿意照做。于是小明希望你给出他更好的方法。帮他计算出答案。
输入格式
　　输入数据包含一行，两个正整数 n m，含义见题目描述。
输出格式
　　输出一个正整数，表示最开始有多少枚硬币是反面朝上的。
样例输入
2 3
样例输出
1
数据规模和约定
　　对于10%的数据，n、m <= 10^3；
　　对于20%的数据，n、m <= 10^7；
　　对于40%的数据，n、m <= 10^15；
　　对于10%的数据，n、m <= 10^1000（10的1000次方）。
问题分析：根据题意要求反面朝上的硬币的数目，即需要求翻动次数为奇数的硬币的数量。因为初始状态所有硬币都是正面朝上，翻动次数为奇数，则最终反面朝上。翻动次数为偶数，则最终正面朝上。假设硬币所在位置(i,j),要求硬币的翻动次数。即要求（i的约数的个数）*（j的约数的个数）。两个数相乘要结果为奇数，只能是两个奇数相乘。故要寻找i的约数个数为奇数并且j的约数个数为奇数的点（i,j）。一般数的约数个数为偶数，因为约数一般都是成对出现的。只有完全平方数的约数个数为奇数（因为有两个相同的约数，其余约数都是成对出现的）。因此，要寻找的点（i，j）是i是完全平方数，j也是完全平方数。给定一个数m，在1~m范围内，完全平方数的个数为sqrt(m).故本题即要求sqrt(m)*sqrt(n).因为m，n的范围比较大，涉及到大数操作。
大数求根算法：给定一个数n,它的位数是Len,如果len为偶数，则他的平方根的位数为len/2.如果len为奇数，那么它的平方根的位数为len/2+1.
知道了位数之后，即可从高位到低位计算平方根。比如要求250的平方根。平方根的位数为2.
首先求最高位
（1）10*10=100<250
（2）20*20=400>250（故最高位为1）
再求次高位
（3）11*11=121<250
（4）12*12=144<250
。。。。。
（5）15*15=225<250
（6）16*16=256>250（故次高位为5）
结果为15.
以此类推，直到求到最低位。

#include<stdio.h>#include<stdlib.h>#include<string.h>#define MAXN 1100char n[MAXN];char m[MAXN];int sqrtn_ans[MAXN];int sqrtm_ans[MAXN];int mul_ans[MAXN];int temp1[MAXN];int Sqrt(int ans[],char n[]);int compare(int a[],int b[],int len1,int len2);int  mul(int ans[],int a[],int b[],int len1,int len2);int add(int ans[],int b[],int len1,int len2);int main(){    int len1,len2,ansLen,i;    scanf("%s%s",n,m);    memset(sqrtn_ans,0,sizeof(sqrtn_ans));    memset(sqrtm_ans,0,sizeof(sqrtm_ans));    len1=Sqrt(sqrtn_ans,n);    len2=Sqrt(sqrtm_ans,m);    memset(mul_ans,0,sizeof(mul_ans));    ansLen=mul(mul_ans,sqrtn_ans,sqrtm_ans,len1,len2);    for(i=ansLen-1;i>=0;i--)        printf("%d",mul_ans[i]);    printf("\n");    return 0;}//求大数的平方根，先将字符串数组转换成整型数组，然后在求平方根，运算结果保存在ans中，//函数返回运算结果的位数int Sqrt(int ans[],char n[]){    int len=strlen(n),ansLen,mulLen,i,j;    if(len%2==0)        ansLen=len/2;    else        ansLen=len/2+1;    int *num=(int *)malloc(sizeof(int)*len);    //将字符串数组转换成整型数组    for(i=0,j=len-1;i<len;i++,j--)        num[j]=n[i]-'0';    for(i=ansLen-1;i>=0;i--)    {        int flag;        memset(temp1,0,sizeof(temp1));        mulLen=1;        while((flag=compare(temp1,num,mulLen,len))==-1)        {            ans[i]++;            mulLen=mul(temp1,ans,ans,ansLen,ansLen);        }        if(flag==1)            ans[i]--;        else if(flag==0)            break;    }    return ansLen;} //高精度*高精度乘法运算，数组a和b中存放两个操作数，a的长度为len1,b的长度为len2,//运算结果保存在ans中，函数返回运算结果的位数int  mul(int ans[],int a[],int b[],int len1,int len2){    int i,j;    memset(ans,0,sizeof(int)*MAXN);    for(i=0;i<len1;i++)    {        for(j=0;j<len2;j++)        {            ans[i+j]+=a[i]*b[j];        }    }    for(i=0;i<len1+len2;i++)    {        ans[i+1]+=ans[i]/10;        ans[i]=ans[i]%10;    }    for(i=len1+len2;i>=0;i--)    {        if(ans[i])            break;    }    return i+1;}//比较两个操作数的大小，若相等则返回0，否则若a>b，返回1，a<b,返回-1.int compare(int a[],int b[],int len1,int len2){    if(len1>len2)        return 1;    else if(len1<len2)        return -1;    else if(len1==len2)    {        int i;        for(i=len1-1;i>=0;i--)        {            if(a[i]>b[i])                return 1;            else if(a[i]<b[i])                return -1;        }    }    return 0;}