关于自然常数e的理解
来源:互联网 发布:淘宝买原味内裤的店铺 编辑:程序博客网 时间:2024/04/28 01:33
关于自然常数e 的理解
利息增长模型
在上中学学习对数的时候,我们就学到了一个叫做e的东西(
首先研究这么一个模型,你往银行里存钱,假设银行的利息按年结算,银行每年的利息与你在银行存的总额和时间成正比(即利息=现金总量x利率x时间差),设存入金额为1,利率为p,那么第二年,你在银行的金额增加到了
泰勒级数的直观理解
我们换种思路再来思考这个问题,这次我们用利滚利的方式来思考,你的本金在银行放了一年,这些本金产生的利息为设每一时刻的本金为
因而一年下来的利息为p。但是事情还没有结束,由这些利息产生的利息还没有被计算,那么利息产生的利息在t时刻应该为:
同样的道理,利息的利息,也会产生利息,这个利息又等于:
依次地推,我们有利息的利息的利息产生的利息在t时刻为:
而这种递推是无穷的,我们把这些本金和利息加载一起就是我们最后拥有的资金,总数为:
其中,t全部被带换成了1。这正是e的泰勒级数展开。
由此可见,我们通过一种模型导出了e的两种表示方式,那么这两种表示方式有没有什么联系呢?实际上,我们讲e的极限式展开,有:
我们来观察其中的每一项
1的系数为1
含
含
含
因此这些项的和为:
上面这个证明用到了多项式展开向无穷的推广,欧拉曾经在证明
从常微分方程来理解
由以上论述,我们统一了e的泰勒展开与其定义,并给出了相应的物理意义,最后来看看一般情况下我们是怎么解决这个问题的。设每一个时刻的金额数为y,那么我们有:
这是一个简单的常微分方程,他的解就是
综上我们给出了同一个模型在e的定义、e的泰勒展开、常微分方程三种表示的物理意义。其中,常微分方程的使用最广,而泰勒级数的方式却体现了现代数学的一种无穷递归的思想,这种思想为后来的数学发展起到了相当大的影响作用。
参考文献
[1] http://betterexplained.com/articles/an-intuitive-guide-to-exponential-functions-e/
[2] http://www.guokr.com/article/50264/
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