(hiho一下)三分·三分求极值
来源:互联网 发布:apm软件 编辑:程序博客网 时间:2024/05/01 07:56
Link:http://hihocoder.com/contest/hiho40/problem/1
时间限制:10000ms
单点时限:1000ms
内存限制:256MB
- 样例输入
2 8 2 -2 6
- 样例输出
2.437
描述
这一次我们就简单一点了,题目在此:
提示:三分法
输入
第1行:5个整数a,b,c,x,y。前三个数构成抛物线的参数,后两个数x,y表示P点坐标。-200≤a,b,c,x,y≤200
输出
第1行:1个实数d,保留3位小数(四舍五入)
解题思路:三分法
在之前的几周中我们了解到二分法作为分治中最常见的方法,适用于单调函数,逼近求解某点的值。
但当函数是凸形函数时,二分法就无法适用,这时就需要用到三分法。
从三分法的名字中我们可以猜到,三分法是对于需要逼近的区间做三等分:
利用这个性质,我们就可以在缩小区间的同时向目标点逼近,从而得到极值。
接下来我们回到题目上,抛物线和点之间的距离可以简单的用直线公式计算:
即d = min{sqrt((X - x)^2+(aX^2+bX+c-y)^2)}
该公式展开后为4次,需要采用求导等方法来求极值。对于计算机编程来说是很麻烦的一件事。
进一步观察题目,我们可以发现根据带入的X值不同,d的长度恰好满足凸形函数。
而我们要求的最短距离d,正好就是这个凸形函数的极值。
那么三分法不就正好可以用来解决这道题目了么?
需要注意在解题过程中一定要想清楚如何划分区间,我们求的各个变量到底是什么含义。
另外,这道题还有一个小小的trick,在解决的时候请一定要小心。
AC code:
#include<iostream>#include<stdio.h>#include<map>#include<vector>#include<set>#include<cstdlib>#include<string.h>#include<algorithm>#include<cmath>#define MAXN 1000010#define EPS 1e-9using namespace std;double a,b,c,x2,y2,x1,t;double ans;double fun(double x){return sqrt((x-x2)*(x-x2)+(a*x*x+b*x+c-y2)*(a*x*x+b*x+c-y2));}double san(double left,double right){double l,r,m,mm;l=left;r=right;while(r-l>EPS){m=(l+r)/2; mm=(m+r)/2;if(fun(m)<fun(mm)){r=mm;}else{l=m;}}return l;}int main(){while(scanf("%lf%lf%lf%lf%lf",&a,&b,&c,&x2,&y2)!=EOF){t=-b/(2*a);if(x2>=t){x1=san(t,t+500);ans=fun(x1);}else{x1=san(t-500,t);ans=fun(x1);}printf("%.3lf\n",ans);}return 0;}
总结:
1.求极小值时三分代码:
double san(double left,double right){double l,r,m,mm;l=left;r=right;while(r-l>EPS){m=(l+r)/2; mm=(m+r)/2;if(fun(m)<fun(mm)){r=mm;}else{l=m;}}return l;}
2.求极大值时三分代码:
double san(double left,double right){double l,r,m,mm;l=left;r=right;while(r-l>EPS){m=(l+r)/2; mm=(m+r)/2;if(fun(m)>fun(mm))//与求极小值时相反,这边改为大于号“> ”即可 {r=mm;}else{l=m;}}return l;}
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