Bellman-Ford算法详讲

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Dijkstra算法是处理单源最短路径的有效算法，但它局限于边的权值非负的情况，若图中出现权值为负的边，Dijkstra算法就会失效，求出的最短路径就可能是错的。

这时候，就需要使用其他的算法来求解最短路径，Bellman-Ford算法就是其中最常用的一个。该算法由美国数学家理查德•贝尔曼（Richard Bellman, 动态规划的提出者）和小莱斯特•福特（Lester Ford）发明。

适用条件&范围：

单源最短路径(从源点s到其它所有顶点v);

有向图&无向图(无向图可以看作(u,v),(v,u)同属于边集E的有向图);

边权可正可负(如有负权回路输出错误提示);

差分约束系统;

Bellman-Ford算法的流程如下：
给定图G(V, E)（其中V、E分别为图G的顶点集与边集），源点s，数组Distant[i]记录从源点s到顶点i的路径长度，初始化数组Distant[n]为, Distant[s]为0；

以下操作循环执行至多n-1次，n为顶点数：
对于每一条边e(u, v)，如果Distant[u] + w(u, v) < Distant[v]，则另Distant[v] = Distant[u]+w(u, v)。w(u, v)为边e(u,v)的权值；
若上述操作没有对Distant进行更新，说明最短路径已经查找完毕，或者部分点不可达，跳出循环。否则执行下次循环；

为了检测图中是否存在负环路，即权值之和小于0的环路。对于每一条边e(u, v)，如果存在Distant[u] + w(u, v) < Distant[v]的边，则图中存在负环路，即是说改图无法求出单源最短路径。否则数组Distant[n]中记录的就是源点s到各顶点的最短路径长度。

可知，Bellman-Ford算法寻找单源最短路径的时间复杂度为O(V*E).

Bellman－Ford算法可以大致分为三个部分
第一，初始化所有点。每一个点保存一个值，表示从原点到达这个点的距离，将原点的值设为0，其它的点的值设为无穷大（表示不可达）。
第二，进行循环，循环下标为从1到n－1（n等于图中点的个数）。在循环内部，遍历所有的边，进行松弛计算。
第三，遍历途中所有的边（edge（u，v）），判断是否存在这样情况：
d（v） > d (u) + w(u,v)
则返回false，表示途中存在从源点可达的权为负的回路。
 
之所以需要第三部分的原因，是因为，如果存在从源点可达的权为负的回路。则 应为无法收敛而导致不能求出最短路径。 

考虑如下的图：
 

经过第一次遍历后，点B的值变为5，点C的值变为8，这时，注意权重为－10的边，这条边的存在，导致点A的值变为－2。（8＋ －10＝－2）
 
 

第二次遍历后，点B的值变为3，点C变为6，点A变为－4。正是因为有一条负边在回路中，导致每次遍历后，各个点的值不断变小。
 
在回过来看一下bellman－ford算法的第三部分，遍历所有边，检查是否存在d（v） > d (u) + w(u,v)。因为第二部分循环的次数是定长的，所以如果存在无法收敛的情况，则肯定能够在第三部分中检查出来。比如
 

此时，点A的值为－2，点B的值为5，边AB的权重为5，5 > -2 + 5. 检查出来这条边没有收敛。
 
所以，Bellman－Ford算法可以解决图中有权为负数的边的单源最短路径问

测试代码如下：（下面为有向图的Bellman-Ford算法。。。。。）

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1. #include<iostream>  
2. #include<cstdio>  
3. using namespace std;  
4.   
5. #define MAX 0x3f3f3f3f  
6. #define N 1010  
7. int nodenum, edgenum, original; //点，边，起点  
8.   
9. typedef struct Edge //边  
10. {  
11.     int u, v;  
12.     int cost;  
13. }Edge;  
14.   
15. Edge edge[N];  
16. int dis[N], pre[N];  
17.   
18. bool Bellman_Ford()  
19. {  
20.     for(int i = 1; i <= nodenum; ++i) //初始化  
21.         dis[i] = (i == original ? 0 : MAX);  
22.     for(int i = 1; i <= nodenum - 1; ++i)  
23.         for(int j = 1; j <= edgenum; ++j)  
24.             if(dis[edge[j].v] > dis[edge[j].u] + edge[j].cost) //松弛（顺序一定不能反~）  
25.             {  
26.                 dis[edge[j].v] = dis[edge[j].u] + edge[j].cost;  
27.                 pre[edge[j].v] = edge[j].u;  
28.             }  
29.             bool flag = 1; //判断是否含有负权回路  
30.             for(int i = 1; i <= edgenum; ++i)  
31.                 if(dis[edge[i].v] > dis[edge[i].u] + edge[i].cost)  
32.                 {  
33.                     flag = 0;  
34.                     break;  
35.                 }  
36.                 return flag;  
37. }  
38.   
39. void print_path(int root) //打印最短路的路径（反向）  
40. {  
41.     while(root != pre[root]) //前驱  
42.     {  
43.         printf("%d-->", root);  
44.         root = pre[root];  
45.     }  
46.     if(root == pre[root])  
47.         printf("%d\n", root);  
48. }  
49.   
50. int main()  
51. {  
52.     scanf("%d%d%d", &nodenum, &edgenum, &original);  
53.     pre[original] = original;  
54.     for(int i = 1; i <= edgenum; ++i)  
55.     {  
56.         scanf("%d%d%d", &edge[i].u, &edge[i].v, &edge[i].cost);  
57.     }  
58.     if(Bellman_Ford())  
59.         for(int i = 1; i <= nodenum; ++i) //每个点最短路  
60.         {  
61.             printf("%d\n", dis[i]);  
62.             printf("Path:");  
63.             print_path(i);  
64.         }  
65.     else  
66.         printf("have negative circle\n");  
67.     return 0;  
68. }  

测试数据：

4 6 1
1 2 20
1 3 5
4 1 -200
2 4 4
4 2 4
3 4 2

和：

4 6 1
1 2 2
1 3 5
4 1 10
2 4 4
4 2 4
3 4 2