背包问题总结

0-1背包问题

给定N种物品和一个背包，第i个物品的价值为vi，重量为wi，每个物品只能选择放入背包或者不放入背包，背包承重为c，求使得背包中物品价值最大的放法。

解法：动态规划

定义状态：c[i][m]表示考虑第i件物品( 1<=i<=n )放入与否时，背包容量（这里的容量就是指总容量，并不是指还能装的重量，而是包含背包中已经装了物品的和没装物品的部分，可以把背包想成由很多小背包组成）为m的状态下，可以获得的最大价值。

C[ i ][ m ] = max{ c[ i-1 ][ m ], c[ i-1 ][ m-wi ]+vi }                     （1<i<n && m>=wi）

                = c[ i-1 ][ m ]                                                                （1<i<n && m<wi）

C[ 0 ][ m ] = 0;

c[ i-1 ][ m ]表示第i件物品没有放入背包状态下背包价值， c[ i-1 ][ m-wi ]+vi 表示第i件物品放入了背包状态下背包价值。

 

**0-1背包问题还有一种变种，就是要求背包必须装满状态下达到最高价值：这只需在初始化状态下做改变即可。

 1 不需要装满条件下，C[0][x] (0<=x<=c)全部初始化为0

 2 只能装满条件下，C[0][0]=0, C[0][i]( 1<=i<=c )初始化为 -∞，这样就使得当前背包没有装满的策略价值都是-∞。

 

 

背包问题

与0-1背包问题相类似，但不同的是在选择物品i时，可以一部分装进背包，不一定全部装入背包。

0-1背包问题 与 背包问题 都具有最优子结构性质；但是背包问题可以用贪心算法，0-1背包则不行。

解法：首先计算每件物品单位重量的价值vi/wi,然后依照贪心选择策略，将尽可能多的单位重量价值最高的物品放入背包。如果放完背包还有剩余，就放单位重量价值次高的物品。

 

完全背包问题

给定N种物品和一个背包，第i个物品的价值为vi，重量为wi，每个物品可以选择放0个，1个...n个到背包中，背包承重为c，求使得背包中物品价值最大的放法。

解法：由于完全背包问题也满足最优子结构，并且有重复子结构，所以使用动态规划的方法

定义状态：c[i][m]表示考虑第i件物品( 1<=i<=n )时，背包容量（这里的容量就是指总容量，可以把背包想成由很多小背包组成）为m的状态下，可以获得的最大价值。

C[i][m] = max{ c[ i-1 ][ m-k*wi ] + k*vi  |  0<=k*wi<=c } 

C[0][m] = 0

 

如果要装满一个重量刚好为value的背包，已知每种重量物品的数量。

可以假设每种物品的价格都为1，这样就转化为一定要装满背包的完全背包问题。