约瑟夫问题

约瑟夫问题：设有n个人围成一圈，每个人的编号依次为1,2，...，n。现从编号为k的人开始报数，数到m的人便出列，接着从出列的下一个人重新开始报数，数到m的人又出列，以此类推，直到所有人都出列为止。现要求该n个人的出列顺序，设为函数f（n,m,i）。

算法分析：第一种情况，假设有10人，数到3出列。开始给这10个人编号：0,1,2,3,4,5,6,7,8,9。

第一次：编号为2 的人出列：0  1  3  4  5  6  7  8  9，出列的人为（m-1）%10=f(10,3,1)；

出列后变为10-1=9人的约瑟夫问题，从编号3开始数：

3  4  5  6  7  8 9 0  1 （1）

0  1  2  3  4  5  6  7  8（2）

可以发现（（2）+3）%10=（1）；序列f(10,3,2)=f(9,3,1)+3；

第二次：编号为5 的人出列：3  4   6  7  8 9 0  1 （1），出列的人为f(10,3,2)=f(9,3,1)+3；

相对于之前的9人约瑟夫问题来说序列变为：

3  4  6  7  8  90  1 （3）

0  1  3  4  5  6  7  8 （4）

出列后变为8人的约瑟夫问题，从编号6开始数：

6  7  8  9  0  1  3  4 （5）

3  4  5  6  7  8 0  1 （6）

0  1  2  3  4  5  6  7 （7）

可以发现（（7）+3）%9=（6）；（（6）+3）%10=（5）；序列f(10,3,3)={[f(8,3,1)+3]%9+3}%10={f(9,3,2)+3}%10；

依次类推，f（n,m,i）函数求第i次输出的人的编号；

f（n,m,i）=(m-1)%n;(n=1)，

f（n,m,i）=[f(n-1,m,i-1)+m]%n;(n!=1)，

具体的代码实现，如下：

当依次输出出列人的编号：

#include <stdio.h>#include <stdlib.h>int fun(int m,int k,int i){if(i==1)return (m+k-1)%m;elsereturn (fun(m-1,k,i-1)+k)%m;}int main(int argc, char* argv[]){for(int i=1;i<=10;i++)printf("第%2d次出环：%2d\n",i,fun(10,3,i));return 0;}

当输出留到最后的人的编号：

#include <stdio.h>#include <stdlib.h>int fun(int m,int k,int i){if(i==1)return (m+k-1)%m;elsereturn (fun(m-1,k,i-1)+k)%m;}int main(int argc, char* argv[]){//for(int i=1;i<=10;i++)printf("最后出列的是：%2d\n",fun(10,3,10));return 0;}