平面嵌入结合欧拉定理的一道证明题
来源:互联网 发布:双色球篮球计算法 编辑:程序博客网 时间:2024/05/16 09:45
设G是面数r<12的简单平面图,G中每个顶点的度数至少为3。
(1) 证明G中存在至多由4条边围成的面;
(2) 给出一个例子说明,若G中的面数为12,且每个顶点的度至少为3,则(1)的结论不成立。
证明:
(1)不妨设G是连通的,否则可以对它的每个连通分支进行讨论。因而由欧拉公式有:
n-m+r=2 (1)
又由已知条件知道
r<12 且 n≤2m/3 (2)
将式(2)的结果代入式(1)得
2<2m/3–m+12 得m<30 (3)
若所有的面均至少由5条边围成,则
5r≤2m 得 r≤2m/5 (4)
将式(2),(4)的结果代入式(1)
2≤2m/3-m+2m/5 得 m≥30 (5)
式(3)与式(5)矛盾,因而必存在至多由4条边围成的面。
(2)十二面体图有12个面,每个顶点均为3度,每个面由5条边围成,
并没有4条边围成的面。
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