[整理]扩展欧拉定理证明

证明思路来源于知乎https://zhuanlan.zhihu.com/p/24902174

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需要证明ax≡axmodφ(m)+φ(m)(modm)，其中a为任意整数，m,x为正整数，且x≥φ(m)

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引理1：

{x≡y (modm1)x≡y (modm2)⟹x≡y(modlcm(m1,m2))

理解：

{x≡y (modm1)x≡y (modm2)⟹{m1|x−ym2|x−y
对m1,m2标准分解：m1=A∗p1qa1p2qa2⋯pnqan      m2=B∗p1qb1p2qb2⋯pnqbn

则x−y=C∗A∗B∗p1max(qa1,qb1)p2max(qa2,qb2)⋯pnmax(qan,qbn)

显然有lcm(m1,m2)|x−y⟹x≡y(modlcm(m1,m2))

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引理２：

p 是素数，q 是正整数且 q>1，则 φ(pq)≥q

理解:

φ(pq)≥q⟹(p−1)∗pq−1≥q

当p,q 均为2时，显然有(p−1)∗pq−1≥q
当q 大于2时，q 每增加1，不等式左边翻倍，右边增加一，显然成立
当p 大于2时，(p−1)∗pq−1>(2−1)∗2q−1≥q

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证明

当m为任意正整数时，将m标准分解：m=pq11pq22⋯pqnn

由 引理2 ， 对于其中的一个pqii，都有 ax≡axmodφ(pqii)+φ(pqii)≡0(modpqii)

由于φ(m)是φ(pqii)的倍数
gcd(a,pi)=1时，明显有 axmodφ(pqii)+φ(pqii)≡axmodφ(m)+φ(m)(modpqii)
gcd(a,pi)=pi时，明显有axmodφ(pqii)+φ(pqii)≡0≡axmodφ(m)+φ(m)(modpqii)

即：ax≡axmodφ(pqii)+φ(pqii)≡axmodφ(m)+φ(m)(modpqii)

由 引理1 ，将所有ax≡axmodφ(m)+φ(m)(modpqii)合并，命题即可得证