单源最短路径的Dijkstra 算法

解决单源最短路径的常用算法为Dijkstra 算法，
Dijkstra算法的主要思路为， 首先求得长度最短的一条最短路径，再求得长度次短的一条最短路径，依次类推，直到从原点到其他所有顶点之间的最短路径都已求得为止。
思路的详细说明：
（1）使用一集合S来记录当前已获得最短路径的点集，一开始将起点V0，放入S中，即意味着V0到V0的最短路径已经得到，因为为0。使用一个一维数组 D[n]来记录 V0点到其他个点的最短距离，这个初始化的设定，对于点 V0与Vn直接相连，则距离即为这条边的权，否则为正无穷。
（2）求第一条最短路径，第一条最短路径为V0到其他点的最短路径，则选出这一条路径的点 V n 加入集合S中，这时，集合S中的点依然是全部最短距离已获得，对于这新加入的点Vn，其与V0的最短路径就为直接路径 D 0 n。
（3) 更新V0到其他点的最短距离，即数组D[n]中的值。由于S[n]数组中新加入了点K，则原点到S集合外的点 I的最短路径可能为之前S集合到点I的最短路径，或者为加入K点之后，经过K点的路径为最短。所以更新 D[i] = min{ D[i] , D[k] + A[k][i] ｝，A为记录所有边的二维数组。更新最短距离，使当前的D数组中的值一直为最短路径，为原点经过集合S中的点到达 点I 的最短距离。
(4) 求下一条最短路径，根据3得到的最短路径，继续求下一条最短路径，将新的点加入S集合中，并执行（3）中操作，更新S集合到其他点的最短路径。
(5) 直到目标点Vt 加入了S集合中，更新的最短路径即为原点V0到目标点Vt的最短路径。

算法的实现：
(1) 数据结构的选择：使用二维数组A[n][n] 记录当前的全部有向路径，对于不相连的两点，设置为正无穷。使用S[n]数组记录当前已确定最短路径的点的集合，用数组D[n]记录当前源点到其他点的最短距离，用数组path[n]来记录路径，这个路径数组中， path[n]的值为原点到点n的最短路径中 点n前一个点，也就是说，最后得到完整的path数组后，要从目标点依次向前推才能得到完整的路径。
(2)数据的初始化：S数组为bool类型的数组，初始化都为false,；D[i]为 A[v][i] ，这里v为源点； 如果 i!= v 且 d[i] 不是正无穷，则path[i] = v ，否则path[i] = -1，这里就是如果两点直接相连，则最短距离的前一点就是原点，否则 设置为 -1。
(3)将源点v加入集合S中： s[v] = true 。
(4)使用for循环： 选出当前最小的d[k]，最为此处最短路径，将点k计入集合S中，设置s[k] = true ，标记点k已经加入集合S，然后遍历D和Path数组，更新加入点K后的最短距离和最短路径的上一个节点。
可以知道目标点进入集合S中退出，也可以选择将全部点全部放入集合S中退出。获得最短路径。

接下来是使用C++代码的实现：

template <class T>int Choose(int *d ,bool * s){    int i,minpos;    T min;    min = INFTY;    minpos = -1;    for(i = 0 ; i < n;i++)        if(d[i] <= min && !s[i])            min = d[i];minpos = i;    return minpos;}template <class T>void Dijkstra(int v,T* d ,int* path){    int i,k,w;    if(v<0|| v> n-1) throw OutOfBounds;    bool *s = new bool[n];    for(i = 0 ; i < n ; i++){        s[i] = false;        d[i] = a[v][i];        if(i!=v && d[i] < INFTY) path[i] = v;        else path[i] = -1;    }    s[v] = true;    d[v] = 0;    for(i = 0 ; i < n ; i++){        k = Choose(d,s);        s[k] = true;        for(w = 0 ; w < n ; w++)            if(!s[w] && d[k] + a[k][w] < d[w]){                d[w] = d[k] + a[k][w];                path[w] = k;            }    }}