排列和组合

排列组合计算公式：

排列A(n,m)=n×（n-1）....（n-m+1）=n！/（n-m）！(n为下标，m为上标，以下同)组合C(n,m)=<span style="font-family: arial, 宋体, sans-serif, 'Microsoft YaHei', tahoma; line-height: 20px;"> A( n, m) / A( m, m)</span> =n！/m！（n-m）！；

问题：

从1到n(包含)中选出m<=n个数，在下列情况下，有多少种组合？

限制条件：

1、无限制

2、各位数字升序排列
3、不能有重复数字

4、各位数字升序排列并且不能有重复数字

1. n^m(n的m次方）
这个不需要过多的解释。
因为“无限制”，所以，每一个元素都可以取得任一可能的数字，于是得出结果。

2.C（m+n-1，m）

第二种情况就是从n个数有重复的选取m个数的变体 因为m个数升序组合只有一种
因而是C（m+n-1，m）

本义角度的证明：
1）从n个数中选择a个；
2）从m个数中的m-1个隔板选出a-1个，作为a个数的间隔。
C(1,n)*C(0,m-1)+...+C(m,n)*C(m-1,m-1)
=C(1,n)*C(m-1,m-1)+...+C(m,n)*C(0,m-1)
=C(m,n+m-1)

3. A(n, m)
因为“不重复”，而且又是列举所有排列的“情况”，所以选择A(n, m)。

4. C(n, m)
这个问题可以看作是在问题[3]的基础上的。
因为问题[3]已经不存在“重复”的情况了，所以这里同样不存在。这个问题在问题[3]的基础上增加了新的“约束”，就是“升序排列”，根据前面问题[2]的分析，满足“所有元素都不重复”的情况，于是得出 A(n, m)/A(m, m) = C(n, m)。