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模型主要都是关注：
1.如何估计参数
2.如何计算估计参数的标准误
3.如何计算定价误差的标准误
4.如何检验模型（一般都是有一个α^′V−1α^形式的检验统计量）

时间序列数据回归
截面数据（同一时间的）回归

Reit表示资产i在时刻t的excess return。
Reit=αi+βift+εit(12.1)
由模型可知，期望回报是β的线性函数，即：
E(Rei)=βiE(f)(12.2)
由模型可知，对所有的资产i，其回归截距αi应为0。故回归得到的截距是定价误差。这里的E(f)=λ

对(12.1)进行时间序列回归TS，可以得到对风险溢价因子λ的估计即是该因子的样本均值：λ^=ET(f)

同时也想知道定价误差α是否jointly equal to zero，进行χ2检验（这里是对大样本而言，即T→∞）：
T[1+(ET(f)σ^(f))2]−1α^′Σ^−1α^∼χ2N
ET(f)：样本均值
σ^(f)：样本方差
T：样本数目
α^：估计截距向量，即α^=[α^1 α^2 ⋯ α^N]′
Σ^：残差协方差矩阵，对E(εtε′t)=Σ的样本估计，这里：εt=[ε1t ε2t ⋯ εNt]′

对小样本而言，样本服从F分布，用GRS统计量来检验：
T−N−1N[1+ET(f)′Ω^−1ET(f)′]−1α^′Σ^−1α^∼FN,T−N−1

α^′V−1α^是用来检验误差α^是否过大的统计量，若大于某阈值，则拒绝该模型。

标准误：抽样导致的不确定性。

1. Time Series
2. Cross Sectional
3. Fama-MacBeth
4. SDF GMM

12.2 截面数据回归
K因子模型：
E(Rei)=β′iλ,i=1,2,⋯,N
核心的经济学问题是：为什么不同的资产平均回报不同。

首先对下式进行TS回归来找到各个βi的估计：
Reit=ai+β′ift+εit,t=1,2,⋯,T,for each i
再根据每一个资产i所对应的βi来估计风险溢价因子λ，即对资产在betas上的平均回报做回归分析：
ET(Rei)=β′iλ+αi,i=1,2,⋯,N(12.10)
在(12.10)中，β是Right-Hand Variables，而λ是回归系数，CS回归的残差αi是定价误差。
这即是two-pass回归估计，即先进行TS估计，再进行CS估计。
CS估计可以有常数项也可以没有。因为理论表明常数项应为0。

OLS的CS估计如下：
λ^=(β′β)−1β′ET(Re)
α^=ET(Re)−λ^β
接下来寻找估计参数的分布情况，当误差在时间上是iid的，同时和因子独立。

OLS回归Y=Xβ+u且E(uu′)=Ω

估计参数β^的方差为：var(β^)=(X′X)−1X′ΩX(X′X)−1

残差的协方差矩阵为：(I−X(X′X)−1X′)Ω(I−X(X′X)−1X′)′

为了计算这两个参数的方差，需要知道矩阵Ω即cov(α,α′)。当因子和误差在时间上是iid的，则Ω=1T(βΣfβ′+Σ)
这里的Σf=cov(ft,f′t)，Σ=cov(εt,ε′t)

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A1
在截面数据回归中，有rmrf，smb，hml这三组证券组合。
实际中经常不使用这三组，这并不合适
一般而言hml是那10组证券的线性组合（根据票面价值和市值的比值按大小次序分成的10组证券），因此协方差矩阵是奇异的。这并不会对参数的估计和标准误带来问题。但如果需要有效估计，或是对协方差矩阵需要求逆时会带来问题。
现在的问题是，究竟是否需要包括那10个证券组合。如果hml是这10组证券的因子定价模型中的因子，则不必包含这10组，因为hml即包含了这10组证券的信息。（即portfolioi=hml⋅βi+αi）

A2
CAPM模型不能应用于价值股。
消费增长解释了HML溢价，因此可以解释10组BM证券组合。
和之前一样，HML和SMB有着相同的预期回报，但本质上和市场不相关

A5
很多文章提出的不被拒绝的模型，主要是因为放大的标准误