[CF 316G3]Good Substrings解题报告

题目

Smart Beaver recently got interested in a new word game. The point is as follows: count the number of distinct good substrings of some strings. To determine if a string is good or not the game uses rules. Overall there aren rules. Each rule is described by a group of three(p, l, r), where p is a string and l and r (l ≤ r) are integers. We’ll say that stringt complies with rule (p, l, r), if the number of occurrences of stringt in string p lies betweenl and r, inclusive. For example, string "ab", complies with rules ("ab",1, 2) and ("aab",0, 1), but does not comply with rules ("cd",1, 2) and ("abab",0, 1).

A substrings[l... r] (1 ≤ l ≤ r ≤ |s|) of string s = s₁s₂...s_|s| (|s| is a length ofs) is string s_ls_l + 1...s_r.

Consider a number of occurrencesof string t in string p as a number of pairs of integers l, r(1 ≤ l ≤ r ≤ |p|) such thatp[l... r] = t.

We’ll say that string t is good if it complies with alln rules. Smart Beaver asks you to help him to write a program that can calculate the number of distinct good substrings of strings. Two substrings s[x...y] and s[z... w] are cosidered to be distinct iffs[x... y] ≠ s[z...w].

Input

The first line contains string s. The second line contains integer n. Nextn lines contain the rules, one per line. Each of these lines contains a string and two integersp_i, l_i, r_i, separated by single spaces (0 ≤ l_i ≤ r_i ≤ |p_i|). It is guaranteed that all the given strings are non-empty and only contain lowercase English letters.

The input limits for scoring 30 points are (subproblem G1):

• 0 ≤ n ≤ 10.
• The length of string s and the maximum length of stringp is  ≤ 200.

The input limits for scoring 70 points are (subproblems G1+G2):

• 0 ≤ n ≤ 10.
• The length of string s and the maximum length of stringp is  ≤ 2000.

The input limits for scoring 100 points are (subproblems G1+G2+G3):

• 0 ≤ n ≤ 10.
• The length of string s and the maximum length of stringp is  ≤ 50000.

Output

Print a single integer — the number of good substrings of strings.

大意就是说：我们给定n个文本串T[1]~T[n]。“好”字符串的定义为：它在第i个文本串中的出现次数在l[i]~r[i]次之间。给一个字符串S，求S有多少个互不相同的好子串。（互不相同是指绝对不同，例如S="aaa"中，"a"只能算一次）。

题解

官方解法用了后缀数组，不过我们可以用后缀自动机解决。

首先将S和T[1]~T[n]顺序接起来（中间放上分隔符）形成一个新的子串SS：

例如，若S="aaab",T[1]="aa",T[2]="aab"，那么SS="aaab#aa$ab%"（当然实际操作中分隔符不是这样的。有一个小坑：分隔符不能从'z'+1向后顺延，因为这会超出127的范围）。

然后将字符串SS建成后缀自动机MT。

我们可以对MT的每个节点v维护sz[0]~sz[n]，其中sz[i]表示v的终点集合中有几个在T[i]中（i=0则为S），如果从初态t0到v的路径上没有分隔符，那sz[i]也就表示节点v所对应的串（们）在T[i]中出现了几次。后缀自动机每次添加非拷贝节点时，其sz数组中只有一个1（取决于当前加的字符在哪个串里）。在建成后缀自动机后，将所有节点按照len排序，然后倒着将每个节点的sz数组加到其后缀链接指向节点的sz数组上。这是后缀自动机中常用的一种DP方式。

有了sz数组后，我们就可以判断每个节点是否对应着“好”字符串。（由于同一节点所对应的字符串们的终点集合相同，所以它们要么都好要么都不好）。

感性地想，我们最后应该是把串S拿到自动机MT上匹配，每一步在到达的节点v处都加上一个什么值。什么值呢？其实是两个：①若v是好节点，加上当前匹配v中串的数目（显然，有可能并未匹配v对应的所有字符串，可能只匹配了长度较短的一部分）。②加上v沿后缀链接能走到的所有好节点的对应字符串数量之和（我们称这个值为suf_sz）。

①便于计算，②可以DP出来，但是！有一个问题：题目让求的是所有不同子串的个数（没错，即使位置不同，只要串一样就算相同）。

怎么办呢？

对自动机中的每个节点记一个值last，含义是它最后一次在S中出现的位置（last=-1代表未在S中出现过）。last值可以像sz数组一样DP出来。最后在MT上跑匹配时，仅当第i次到达的节点v满足v.last=i时，才把v节点的①和②加到答案上。这样实际上就保证了相同的串只在最后一次才会计算。

最后就如前所说，在MT上跑串S的匹配，第i次循环到达节点v时，若v.last=i，则将v节点的①和②加到答案上。

重点关注一下DP，一共有三个：

1.sz数组。初始化为全零。在向MT中添加T[k]中的某个值时，新建节点cur的sz[k]=1.在MT构建完毕后，按照len值倒序遍历所有节点，把它的sz值加到其后缀链接指向的节点的sz上。

2.last值。初始化为-1.在向MT中添加SS[i]时，新建节点cur的last=i。MT构建完毕后，按照len值倒序遍历所有节点，用它的last值更新其后缀链接指向节点的last值。

3.suf_sz。在MT构建完毕后，按照len值顺序遍历所有节点v，将v的后缀链接指向节点的suf_sz加到v的suf_sz上，若后缀链接指向好节点，将其对应的字符串数量加到v的suf_sz上。

代码

#include<iostream>#include<cstdio>#include<algorithm>#include<cstring>using namespace std;#define Nil NULLtypedef long long LL;const int INF=0x7ffffff/2;const int SIZEP=50010;const int LNUM=11;int M;//限制的数量int lim_l[LNUM],lim_r[LNUM];int match[256]={0};class Suffix_Automaton{public:class Node{public:int len;Node *suflink;//后缀链接Node *ch[26+LNUM];//转移int sz[LNUM];//在每个模式串中出现次数bool good;//是否对应"好"字符串int range;//对应多少个字符串int last;//首次出现位置LL suf_sz;//后缀链接能到达好节点的range之和void calc_range(void){range=len;if(suflink!=Nil) range-=suflink->len;}void calc_good(void){for(int i=1;i<=M;i++){if(!(lim_l[i]<=sz[i]&&sz[i]<=lim_r[i])){good=false;return;}}good=true;}void clear(void){len=0;suflink=Nil;memset(ch,0,sizeof(ch));memset(sz,0,sizeof(sz));good=false;range=0;last=-1;suf_sz=0;}Node(){clear();}};Node *root,*last;int n;Node *lis[1100050];int timer;int findpos(Node *a){if(a==Nil) return -1;for(int i=0;i<n;i++){if(lis[i]==a) return i;}return -2;}void print(Node *a){cout<<"addr: "<<findpos(a)<<endl;cout<<"len: "<<a->len<<endl;cout<<"suflink: "<<findpos(a->suflink)<<endl;cout<<"good: "<<a->good<<endl;cout<<"last: "<<a->last<<endl;cout<<"suf_sz: "<<a->suf_sz<<endl;cout<<"sz: ";for(int i=0;i<=M;i++){cout<<a->sz[i]<<" ";}cout<<endl;for(int i=0;i<26+LNUM;i++){if(a->ch[i]!=Nil){cout<<(char)('a'+i)<<" : "<<findpos(a->ch[i])<<endl;}}cout<<endl;}void clear(void){root=new Node;last=root;lis[0]=root;n=1;timer=0;}Suffix_Automaton(void){clear();}void insert(char c,int id){int k=match[c];Node *cur=new Node;if(id!=-1) cur->sz[id]=1;lis[n++]=cur;cur->len=last->len+1;if(id==0) cur->last=timer++;Node *p=last;while(p!=Nil&&p->ch[k]==Nil){p->ch[k]=cur;p=p->suflink;}if(p==Nil) cur->suflink=root;else{Node *q=p->ch[k];if(p->len+1==q->len) cur->suflink=q;else{Node *clone=new Node;lis[n++]=clone;*clone=*q;memset(clone->sz,0,sizeof(clone->sz));clone->len=p->len+1;cur->suflink=clone;q->suflink=clone;while(p!=Nil&&p->ch[k]==q){p->ch[k]=clone;p=p->suflink;}}}last=cur;}class cmp_len{public:bool operator () (Node *a,Node *b){return a->len<b->len;}};void prepare(void){sort(lis,lis+n,cmp_len());for(int i=n-1;i>=0;i--){Node *p=lis[i];if(p->suflink!=Nil){for(int j=0;j<=M;j++) p->suflink->sz[j]+=p->sz[j];p->suflink->last=max(p->suflink->last,p->last);}}for(int i=0;i<n;i++) lis[i]->calc_good(),lis[i]->calc_range();for(int i=0;i<n;i++){Node *p=lis[i];if(p->suflink!=Nil&&p->last==p->suflink->last){Node *q=p->suflink;p->suf_sz+=q->suf_sz;if(q->good){p->suf_sz+=q->range;}}}}LL calc(char *s,int L){LL ans=0;Node *p=root;int now=0;for(int i=0;i<L;i++){int k=match[s[i]];while(p!=root&&p->ch[k]==Nil){p=p->suflink;now=p->len;}if(p->ch[k]!=Nil) p=p->ch[k],now++;if(p->last==i){//保证不重ans+=p->suf_sz;if(p->good){ans+=now;if(p->suflink!=Nil) ans-=p->suflink->len;}}}return ans;}};Suffix_Automaton MT;char S[SIZEP];int L;char str[SIZEP];void build_MT(void){memset(match,-1,sizeof(match));for(int i=0;i<26;i++) match['a'+i]=i;for(int i=0;i<20;i++) match[i]=26+i;scanf("%s",S);scanf("%d",&M);char dlm='\0';L=strlen(S);for(int i=0;i<L;i++){MT.insert(S[i],0);}MT.insert(dlm++,-1);for(int i=1;i<=M;i++){scanf("%s",str);scanf("%d%d",&lim_l[i],&lim_r[i]);int len=strlen(str);for(int k=0;k<len;k++){MT.insert(str[k],i);}MT.insert(dlm++,-1);//分隔符}}int main(){//freopen("t1.in","r",stdin);build_MT();MT.prepare();cout<<MT.calc(S,L)<<endl;return 0;}