快速幂与快速矩阵幂

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在进行幂运算计算的时候我们会很轻松的给出O(n)的计算方法，但是对于n特别大的时候就并不适合了

但是我们换种方式来计算就要快得多，如我们要计算a^n只要记得a^(n/2)就可以了

如果n为奇数 a^n=a^(n/2)*a^(n/2)*a

如果n为偶数a^n=a^(n/2)*a^(n/2)

ll mod_pow(ll x,ll n){    ll res=1;    while(n>0){        if (n&1){            res=(res*x)%maxn;        }        x=(x*x)%maxn;        n>>=1;    }    return res;}

快速矩阵幂

快速矩阵幂在对同一种递推操作计算的时候可以发挥奇效

有没有想过如何让斐波拉契数列计算得更快呢

一般来说计算f[i]就一定要知道f[i-1]和f[i-2]的值，所以O(n)的算法算的上是还可以了

但是如果加入了矩阵的运算还可以让他算的更快，O(logn)

下面来看看如何利用矩阵的运算

那么可以得知

那么只要我们能快速算出A的n次方不久可以很快的算出f[n]了吗

#include<bits/stdc++.h>using namespace std;typedef long long ll;typedef vector<ll> vec;typedef vector<vec> mat;const long long MAXN=19999997;mat mul(mat a,mat b){    mat c(a.size(),vec(b[0].size()));    for (int i=0;i<a.size();i++){        for (int k=0;k<b.size();k++){            for (int j=0;j<b[0].size();j++){                c[i][j]=(c[i][j]%MAXN+((a[i][k]%MAXN)*(b[k][j]%MAXN))%MAXN)%MAXN;            }        }    }    return c;}mat pow(mat a,ll n){    mat b(a.size(),vec(a.size()));    for (int i=0;i<a.size();i++){        b[i][i]=1;    }    while(n>0){        if (n&1) b=mul(b,a);        a=mul(a,a);        n>>=1;    }    return b;}ll solve(ll n){    mat a(2,vec(2));        //指定横纵坐标的大小    a[0][0]=1;a[0][1]=1;    a[1][0]=1;a[1][1]=0;    a=pow(a,n);    return a[0][0];}int main(){    ll n;    while(~scanf("%lld",&n)){printf("%lld\n",solve(n));    }    return 0;}