解题报告 之 SOJ 4426 Counting_3

Description

Define f(0)=1 and f(n) to be the number of different ways n can be expressed as a sum of integer powers of 3 using each power no more than 3 times.
For example, f(9)=3 since there are 3 ways to express 9:

    1+1+1+3+3    3+3+3    9

For a given n, please calculate f(n).

Input

Line 1: T, indicating the number of test cases.
Line 2 - T+1: n (1 <= n <= 10^18)

Output

For each case, output f(n) in a line.

Sample Input

2910

Sample Output

32

题目大意：给你一个数（最大10^18），让你将之分解成若干个不同的3的次方数相加的形式。但是注意每一个3的次方数最多只能用3次。比如36不能分为9+9+9+9。问你一共有多少种不同的方式。

分析：这个题感觉DP不是很好想，感觉比较偏重于找规律，现场有大神说是f(n/3)+f(n/3+1)。但是也不是很好理解。所以还是硬看了看DP的提示。结果是这样的。首先将这个数做最大三进制，则将这个数先尽量用大的三的倍数拼凑存到num[i]，得到位数cnt，则每一位是0,1,2。dp[i][j] 表示先把前 i 位考虑了（即前i位都填完了，i 从0开始，而且第i位的数字为j ）。

接着采用递推的思想。考虑一下，当你在确定第i位的可能性的时候，是不是有几种可能。

1.如果 num[i]==0，那么dp[i][0]表示前面没更大的数转到第i位。则它是直接填上0得来的情况数，那么此时由前面的方法数决定，则

dp[i][0]=dp[i-1][0]+dp[i-1][0]+dp[i-1][0]+dp[i-1][0];

同时dp[i][3]表示有前面有转移的情况，则

dp[i][3]=dp[i-1][1]+dp[i-1][2]+dp[i-1][3]+dp[i-1][4];

注意第i-1位必须要有，且最多有4个，不然即使转移了也不满足条件。

2.同理如果 num[i]==1，有

dp[i][1]=dp[i-1][0]+dp[i-1][0]+dp[i-1][0]+dp[i-1][0];

dp[i][4]=dp[i-1][1]+dp[i-1][2]+dp[i-1][3]+dp[i-1][4]; //本来有1个，又有前面的转换过来，则变为4个。有人问4个不是不满足条件吗，但是它还可以再向后面转1个，所以它只是作为一种状态，而非最终答案的一部分。

3.同理如果 num[i]==2，有

dp[i][2]=dp[i-1][0]+dp[i-1][0]+dp[i-1][0]+dp[i-1][0];

此时没有dp[i][5]=dp[i-1][1]+dp[i-1][2]+dp[i-1][3]+dp[i-1][4]; 因为状态5不合法，即使向后转移也还剩下4，不可能转移成任何答案。

4.有人问 num[i]==3呢？  当你更新第i位的时候 num[i]不可能等于三，因为你是最大拆分，三进制只能取0,1,2。

最后再把dp[cnt-1]的0~3都加起来即可。

于是乎上代码：

#include<iostream>#include<cmath>#include<cstring>using namespace std;const long long maxn = 1e18;int dp[40][8];int num[40];int cnt = 0;void dtot(long long n){cnt = 0;while (n){num[cnt++] = n % 3;n /= 3;}int i = 0, j = cnt - 1;while (i <= j){swap(num[i], num[j]);i++;j--;}}int main(){int kase;cin >> kase;long long n;while (kase--){cin >> n;memset(dp, 0, sizeof(dp));dtot(n);int ans = 0;dp[0][num[0]]=1;for (int i = 1; i < cnt; i++){if (num[i] == 0){dp[i][0] = dp[i - 1][0] + dp[i - 1][1] + dp[i - 1][2] + dp[i - 1][3];dp[i][3] = dp[i - 1][1] + dp[i - 1][2] + dp[i - 1][3] + dp[i - 1][4];}else if (num[i] == 1){dp[i][1] = dp[i - 1][0] + dp[i - 1][1] + dp[i - 1][2] + dp[i - 1][3];dp[i][4] = dp[i - 1][1] + dp[i - 1][2] + dp[i - 1][3] + dp[i - 1][4];}else if (num[i] == 2){dp[i][2] = dp[i - 1][0] + dp[i - 1][1] + dp[i - 1][2] + dp[i - 1][3];}}for (int i = 0; i <= 3; i++)ans += dp[cnt - 1][i];cout << ans << endl;}return 0;}

今天钱包耍掉的我更加穷困了，呵呵，呵呵。