线性代数导论21——特征值和特征向量

本文是Gilbert Strang的线性代数导论课程笔记。课程地址：http://v.163.com/special/opencourse/daishu.html  

第二十一课时：特征值和特征向量

对方阵的特征值和特征向量做讲解，矩阵的特征值和特征向量会反映出矩阵的重要信息，后面的课将讲解特征值和特征向量的应用以及为什么需要特征值和特征向量。

特征向量和特征值概念

Ax，矩阵A的作用就像输入向量x，结果得到向量Ax（就像一个函数，微积分中的函数表示作用在数字x上得到f(x)），扩展至多维，矩阵A作用在一个向量x上，得到向量Ax，我们感兴趣的，变换前后方向一致的向量，对多数向量而言方向是不一致的，但有特定的向量能使Ax平行于x，这些就是特征向量。

Ax=λx，满足这个方程的向量是A的特征向量，Ax平行于x，方向相同或相反。

x就是矩阵A的特征向量，λ就是特征值。

考虑若λ=0，那么Ax=0，当A是奇异矩阵，即可以把某个非零向量转化为0向量（当A为奇异矩阵时，必有一个特征值是0）。

考查投影矩阵P，投影矩阵的特征向量和特征值有哪些？

哪些向量的投影和它们本身在一个方向上。正好已经落在平面上的向量。任意平面上向量x就是一个特征向量Px=x，特征值λ=1。再考虑垂直于平面的向量x，Px=0x，λ=0。所以投影矩阵的特征值是0和1，所以投影矩阵的特征向量是平面内的向量和垂直于平面的向量。

考查置换矩阵A的特征值

置换矩阵A交换向量x(x1,x2)元素的位置，那么交换后的向量(x2,x1)怎么才是和初始向量(x1,x2)同一方向呢？

当x1=x2时就是一个特征向量（1,1），Ax=x，λ=1。

当x1=-x2时，Ax=-x，特征向量(1,-1)，λ=-1。

注意到两个特征向量的点积是0，两个特征向量垂直。

特征值的性质

对于方阵n×n矩阵有n个特征值，特征值λ的和等于对角线元素和，这个和数叫迹。例如上面置换矩阵的迹为0.

求解Ax=λx中特征值λ和特征向量x

Ax=λx

(A-λI)x=0

以上式子，当x为非零向量时，要使等式满足，则：A平移λI的矩阵(A-λI)必须是奇异矩阵，否则唯一的x必须是零向量或者矩阵是零矩阵。奇异矩阵的行列式等于0，det(A-λI)=0，它叫做特征方程或者特征值方程，可以求得λ的值。那么思路就是首先由特征值方程解出λ（λ的值有可能有重复的值），然后（A-λI）已知，那么就是求奇异矩阵的零空间了，消元就可得到特征向量。

例子：求如下对称矩阵A的特征向量和特征值

有如上性质：特征值λ的和等于对角线元素和，这个和为迹，那么式中一次项系数6λ中6就是迹，常数项8就是矩阵A的行列式。求出特征值后，特征向量就是对应奇异矩阵零空间的解。

问题：如上矩阵A1是如下矩阵A1=A2+3I，这对特征值和特征向量有何影响？如果对已有矩阵做变动，特征值和特征向量会如何变化？

结果：A1=A2+3I，A1的特征值相对于A2的特征值分别加了3，特征向量不变。如果矩阵加上3I，那么它的特征向量不变，特征值加3。

给定矩阵Ax=λx，那么 (A+3I)x=Ax+3Ix=λx+3x=(λ+3)x，特征向量x是A和(A+3I)共同的特征向量。

已知矩阵A有Ax=λx，矩阵B有特征值α，By=αy，那么A+B的特征值和特征向量是怎样的？

（A+B）的特征向量和特征值一般与A不同，除非B是单位矩阵的倍数。

求解正交矩阵Q（旋转矩阵，因为它相对于单位阵旋转了，形状和大小不变）Qx=λx中特征值λ和特征向量x。

矩阵Q是将每个向量旋转90°，Q为(cos90°, sin90°),(- sin90°, cos90°)，迹trace：0+0=λ1+λ2，λ1*λ2=1。方程并没有实数解，但有复数解λ1=i，λ2=-i（共轭复数：两个实部相等，虚部互为相反数。这两个复数互为共轭，一对共轭复数），这是完全实矩阵的特征值。

哪些向量旋转90°后还和自己平行？

如果矩阵是对称的或者接近对称的，那么特征值就是实数；

如果矩阵越不对称（反对称矩阵Q^T=-Q），那么特征值越可能为纯虚数。

求解三角矩阵A的特征值和特征向量

三角矩阵的特征值就在对角线上，对角线上的元素就是特征值。

对应的特征值就是λ1=λ2=3， 特征向量的求解过程中，就是求这个A-λI的零空间，可得到零空间的一组基。在零空间中找到一个向量x1(1 0)，找另外一个向量x2的时候与x1不要共线，结果是没有这样的x2，这是一个退化矩阵（A2×2），只有一个方向上的特征向量，不是两个，这对重复的特征值是可能的。