漫步线性代数二十六——特征值和特征向量（续）

上面展示了当求解du/dt=Au时，如何自然而然的引出特征值λ和特征向量x，这样的一个方程有纯指数解u=eλtx；特征值给出了增长或衰减速率，特征向量x以这个速率在变化。其他解是这些解的叠加，这样做是为了拟合初始条件。

关键方程是Ax=λx，大多数向量x不满足这样的方程，当A与他们相乘时，他们的方向发生了变化，这样的话Ax就不是x的倍数，这意味着只有某些特殊值是特征值，某些特殊向量x是特征向量。我们可以观察每个特征向量，然后将他们组合起来得到解。换句话说就是，基本矩阵可以被对角化。

对角化(下篇文章进行介绍)可以应用到微分方程，斐波那契额数列，马尔科夫过程和差分方程。对于每个实例，我们首先计算特征值和特征向量；这个是不可避免的步骤。对称矩阵非常容易求解，亏损矩阵没有完整的特征向量，所以他们不能对角化，当然我们还是会讨论他们的。

下面以一个良好矩阵实例进行说明。

例1：当A是对角矩阵时，所有东西都很清晰：

A=[3002]特征值λ1=3x1=[10], 特征值λ2=2x2=[01]

对于每个特征值，A就像是单位矩阵的倍数：Ax1=3x1,Ax2=2x2，其他向量例如x=(1,5)是两个特征向量的组合x1+5x2，当A乘以x1,x2时，它得到特征值λ1=3,λ2=2：

A⋅x1+5x2就是3x1+10x2=[310]

这就是某个向量x(不是特征向量)的Ax值，当时A的作用完全由它的特征值和特征向量决定。

例2：投影矩阵的特征值是1或者0！：

P=⎡⎣⎢⎢12121212⎤⎦⎥⎥特征值λ1=1x1=[11], 特征值λ2=0x2=[1−1]

当x投影到它自身时，我们有λ=1，当x投影到零向量时，λ=0。P的列有特征向量，并且有零空间。如果这些空间维数是r,n−r，那么λ=1重复r次，λ=0重复n−r次：

P=⎡⎣⎢⎢⎢1000000000000001⎤⎦⎥⎥⎥特征值是λ=1,1,0,0

零可能是特征值，也可能不是。如果是，那么它的特征向量满足Ax=0x，因此x在A的零空间内。零特征值表明A是奇异的(不可逆)；它的行列式为零。对于可逆矩阵来说，所有特征值λ≠0。

例3:当A是三角矩阵时，特征值在主对角线上：

det(A−λI)=∣∣∣∣∣∣∣1−λ00434−λ05612−λ∣∣∣∣∣∣∣=(1−λ)(34−λ)(12−λ)

行列式仅仅是对角元素的乘积，如果λ=1,34或者12，那么它等于零；特征值已经位于主对角线上。

这个例子中的特征值可以直接看出来，这也是之后要讲到的要点：将A变换成对角或三角矩阵，而特征值不变。我们之前强调过高斯分解A=LU无法达到这个目的，U的特征值可能直接在对角线上，但是他们不是A的特征值。

对于大多数矩阵，毫无疑问的是计算特征值比求解Ax=b要困难，对于一个线性方程组，有限步的消元步骤就能在有限时间内求出精确解(或者等价的，克莱姆法则给出了解的精确公式)，没有类似的特征值公式。对于5×5矩阵，det(A−λI)牵涉到λ5，伽罗瓦和阿贝尔证明了五阶多项式的根没有代数公式。

在我们求出特征值后，我们有两个好方法类验证他们：和与乘积。

2、n个特征值的和等于n个对角元素的和：

A的迹=λ1+⋯+λn=a11+⋯+ann(1)

进一步，n个特征值的乘积等于A的行列式。

投影矩阵P的对角元素是12,12，特征值是1,0，可以看出12+12等于1+0。 对于奇异矩阵(行列式为零)来说，它的特征值至少有一个为零。

大家不要混淆特征值和对角元素，对于三角矩阵来说，他们是一样的——但是这是个特例。一般情况下，主元，对角元素和特征值完全不同，并且对2×2矩阵来说，迹和行列式提供了许多信息：

[acbd]的迹是a+d,行列式是ad−bc

det(A−λI)=det[a−λcbd−λ]=λ2−(迹)λ+(行列式)

特征值是λ=(迹)±[(迹)2−4det]1/22

直接可以看出两个特征值相加得到迹。