ACM-矩阵专题

之前写过一篇矩阵的总结,但那时题目做得很少.点击打开链接

这次刷了个专题,写个总结 点击打开链接

水题:

A.典型的斐波那契递推构造

B.矩阵构造,就是按列递推

C.水题

G.水题

结合/技巧问题:

就是有的时候要计算C=A*B  C^N.这时候可能A * B的范围很大,那么就算A*(B*A)^(N-1)*B即可

E结合

H   S(N)=A+A^2+A^3+A^4+.....+A^N 两种方法,一种是二分即当N为偶数S(N)=(A+A^2+...+A^(N/2)(E+A^(N/2)),奇数S(N)=(A+A^2+...+A^(N/2)(E+A^(N/2))+A^N,

另一种是构造矩阵[S(N),An]

找规律:

1. 已知a+b,ab 求a^n+b^n. 设f(n)=a^n+b^n.

则f(n+1)=f(n)*(a+b)=a^(n+1)+b^(n+1)+ab(a^(n-1)+b^(n-1))

=(a+b)f(n)-abf(n-1)

2. L这个题的规律,打表找吧.

3.M 求 ceil((a+√b)^n)%m 的结果. 利用题目给定的b的范围发现可以写成ceil((a+√b)^n + (a-√b)^n)%m.等价于a^n+b^n 和1一样了

4.R   F[0] = a   F[1] = b   F[n] = F[n-1] * F[n-2] ( n > 1 )  求Fn, 这个拆分下发现

f(n)是斐波那契数列的第n项    F(n) = a^f(n-1)*b^f(n)

然后由费马小定理
    a^f(n-1) = a^(f(n-1)%1000000006) (mod 1000000007)
    b^f(n) = b^(f(n)%1000000006) (mod 1000000007) 这2个直接快速幂就行了

f(n)%1000000006这个用矩阵快速幂可以求

5.(f[1]+f[2]+...+f[n])=f[n+2]-1 

构造一个矩阵, 使得各行和各列的值不同.
矩阵的上三角全为"1"
矩阵的下三角全为"-1"
对角线"1","0"交替.
如n = 4,对应矩阵为:
1 1 1 1
1 1 0 -1
1 1 -1 -1
0 -1 -1 -1

矩阵模版:

#include<cmath>#include<cstdio>#include<cstring>#include<iostream>#include<algorithm>using namespace std;int MOD = 1000000007;#define MaxSize 5typedef long long type;typedef long long LL;LL n,k;struct Mat{    type arr[MaxSize][MaxSize];    int r,l;    Mat(int r=0,int l=0){        this->r=r;        this->l=l;        memset(arr,0,sizeof(arr));    }    Mat operator * (const Mat &x){        Mat ret(r,x.l);        for(int i = 0;i<r;i++)            for(int j = 0;j<l;j++)                for(int k = 0;k<x.l;k++)                    ret.arr[i][j] = (ret.arr[i][j]+arr[i][k]*x.arr[k][j] %MOD)%MOD;        return ret;    }};Mat pow_mat(LL n,Mat basic){    Mat ret(2,2);    ret.arr[0][0]=ret.arr[1][1]=1;    while(n>0){        if(n&1)            ret = ret*basic;        basic = basic*basic;        n>>=1;    }return ret;}LL solve(LL nn){    LL ret;    if(nn==1)        return 1;    Mat e(2,2);    e.arr[0][0]=e.arr[0][1]=e.arr[1][0]=1;    e = pow_mat(nn/2,e);    ret = e.arr[0][0] * (LL)pow(nn/2,k) +1;    ret = ret * solve(nn/2)%MOD;    if(nn&1)        ret = ret*(pow_mat(nn,e).arr[0][0])%MOD;    return ret;}int main(){    int cas=1;    int T;    scanf("%d",&T);    while(T--){        scanf("%I64d%d",&n,&MOD);        printf("Case %d: ",cas++);        Mat e(2,2);        e.arr[0][0]=e.arr[0][1]=e.arr[1][0]=1;        e = pow_mat(n,e);        int ans = (e.arr[0][0] + e.arr[1][0]-1+MOD)%MOD;        if(ans==0){            puts("No");            continue;        }puts("Yes");        for(int i = 0;i<ans;i++){            for(int j = 0;j<i;j++)                printf("-1 ");            if(i%2==0) {                if(i==ans-1) printf("0\n");                else printf("0 ");            }            if(i%2==1) {                if(i==ans-1) printf("1\n");                else printf("1 ");            }            for(int j = i+1;j<ans;j++)                if(j==ans-1)  printf("1\n");                else printf("1 ");        }    }    return 0;}