矩阵专题

矩阵

在数学中，矩阵（Matrix）是指纵横排列的二维数据表格，最早来自于方程组的系数及常数所构成的方阵。

图可以用矩阵表示，图中顶点与顶点之间关系、顶点与边之间关系、边与回路的关系，都可以用矩阵来表示。

邻接矩阵

1.用一个一维数组存放图中所有顶点数据；用一个二维数组存放顶点间关系（边或弧）的数据，这个二维数组称为邻接矩阵。邻接矩阵又分为有向图邻接矩阵和无向图邻接矩阵

2.

邻接矩阵（Adjacency Matrix）：是表示顶点之间相邻关系的矩阵。设G=(V,E)是一个图，其中V={v1,v2,…,vn}。G的邻接矩阵是一个具有下列性质的n阶方阵：

①对无向图而言，邻接矩阵一定是对称的，而且对角线一定为零（在此仅讨论无向简单图），有向图则不一定如此。

②在无向图中，任一顶点i的度为第i列所有元素的和，在有向图中顶点i的出度为第i行所有元素的和，而入度为第i列所有元素的和。

③用邻接矩阵法表示图共需要n^2个空间，由于无向图的邻接矩阵一定具有对称关系，所以扣除对角线为零外，仅需要存储上三角形或下三角形的数据即可，因此仅需要n（n-1）/2个空间。

在图的邻接矩阵表示法中：

① 用邻接矩阵表示顶点间的相邻关系

② 用一个顺序表来存储顶点信息

图的矩阵

设G=(V，E)是具有n个顶点的图，则G的邻接矩阵是具有如下性质的n阶方阵：

【例】

下图中无向图G 5 和有向图G 6 的邻接矩阵分别为A l 和A 2 。

关联矩阵

关联矩阵即用一个矩阵来表示各个点和每条边之间的关系。

对于一个无向图G，pxq, p为顶点的个数，q为边数。bij 表示在关联矩阵中点i和边j之间的关系。若点i和边j之间是连着的，则bij = 1. 反之，则bij = 0. 例如：

对于左图为一个无向图G，右图为其关联矩阵。对于关联矩阵第一行1 1 1 0，表示点v1和各边的关系。如图所示，v1和e1,e2,e3相连，和e4未连，故关联矩阵的值为1 1 1 0. 下面各行为点v2，v3, v4和各边的关联，以此类推。

需要注意的一点，每一行值的总和为该点的度。

对于有向图，若bij = 1，表示边j离开点i。 若bij = -1， 表示边j进入点i。 若bij = 0，表示边j和点i不相关联。

应用关联矩阵法的关键，在于确定每个评价指标的相对重要度（即权重Wj）以及根据评价主体给定的评价指标的评价尺度，确定方案关于评价指标的价值评定量（Vij）。

关联矩阵法是因其整个程序如同一个矩阵排列而得名。关联矩阵法是对多目标系统方案从多个因素出发综合评定优劣程度的方法，是一种定量与定性相结合的评价方法，它用矩阵形式来表示各替代方案有关评价指标的评价值，然后计算各方案评价值的加权和，再通过分析比较，确定评价值加权和最大的方案即为最优方案。

它的应用过程是：根据不同类型人员，确定不同的指标模块(又称一级指标)，然后将指标模块分解获得二级指标(有些复杂的量表还包括三级指标)，建立起具有层次结构的评估。这是它与一般的因素评分法的相同之处，而显著不同之处在于指标确定的同时赋予权重，即对其各评估要素依据其对于被评估者的重要程度的差异进行区别对待，从而使得定性指标的量化更加科学可靠。　关联矩阵法的基本出发点是建立评价及分析的层次结构，在权重的确定上，关联矩阵法要来得简单，操作性强．它是根据具体评价系统，采用矩阵形式确定系统评价指标体系及其相应的权重，然后对评价系统的各个方案计算其综合评价值——各评价项目评价值的加权和。