动态规划之最优二叉搜索树

我们在之前也讨论过动态规划的例子：
动态规划原理：http://blog.csdn.net/ii1245712564/article/details/45040037
钢条切割问题：http://blog.csdn.net/ii1245712564/article/details/44464689
矩阵链乘法问题：http://blog.csdn.net/ii1245712564/article/details/44464689
最长公共子序列：http://blog.csdn.net/ii1245712564/article/details/45056045

这次我们来讨论另外一个动态规划的例子，最优二叉搜索树。
在进入主题之前，我们先提一下动态规划的两大特征：

1. 具有最优子结构
2. 子问题重叠

问题背景

假设现在我们要做一个软件，需要将英文按照单词翻译成中文，每一个英文单词都有一个对应的中文解释。现在我们需要将这些英文单词单词进行排序，然后将这些英文单词无差别的加入到二叉搜索树里面！每一个单词都要进行搜索，我们要求所需的时间尽可能的少，我们可以通过红黑树或者其他平衡搜索结构使得每次搜索时间为log(n)。
但是这里有个问题，每一个单词出现的频率都不一样。比如the出现的概率就比其他单词出现的概率大得多，要是我们将the放在搜索树的叶子上，那么每次都要从搜索树的根一直搜查到叶子，那将是很费时间的。那么我们要尽量将概率大的单词放在靠近根部的位置，概率小的单词放在靠近叶子的位置。

问题描述

给定一个n个不同关键字已排序的序列K=<k1,k2,k3,...kn>(k1<k2<k3<...<kn).我们希望用这些不同的关键字构建一棵二叉搜索树。其中每一个ki都有一个对应的搜索概率pi,有些要搜索的值不在K中，于是我们还有n+1个伪关键字，D=<d0,d1,d2,...,dn>,其中di表示比ki−1大且比ki小的伪关键字，对应的每一个伪关键字di，也有一个相应的搜索概率qi,这里的di也可以理解为在找不到关键字的情况。
于是我们得出：

∑1npi+∑0nqi=1

假设我们有这样的关键字和伪关键字序列：

ipiqi00.0510.150.1020.100.0530.050.0540.100.0550.200.10

构建出下面两棵搜索树：

我们求一棵二叉搜索树的权重为：

E[T中的搜价]=∑1n(depth(ki)+1)pi+∑0n(depth(di)+1)qi

化简得：

E[T中的搜索价]=1+∑1ndepth(ki)pi+∑0ndepth(di)qi

用上面的公式，我们计算得
a树的搜索代价为：E[Ta]=2.80
b树的搜索代价为 : E[Tb]=2.75
对于一个给定的概率集合，我们希望构造出一棵搜索代价最小的二叉搜索树，那么构造出来的二叉搜索树就是最优二叉搜索树！

问题分析

我们先来尝试一下蛮力法：对于一个序列，每一个关键字都有成为根节点的可能性，于是在排除伪关键字的情况下问题的规模为2∗2∗2∗...∗2=2n,要是再加上伪关键字，那么问题的规模就更大了，所以这里问题的规模使我们最不想要的指数级的，那么来世老规矩，动态规划出场！没有动态规划还真不行啊

最优二叉搜索树的结构

我们在《动态规划原理》里面提到过，需找一个问题的最优子结构的步骤：

1. 选择:我们在构建最优二叉搜索树的过程中，我们首先选出一个节点kr.
2. 假设：假设节点kr是最优二叉搜索树根节点.
3. 子问题：这里我们就产生了两个子问题：K1<k1,...,kr−1>和K2<kr+1,...,n>
4. 剪切粘贴：这里的子问题K1和K2也是最优二叉搜索树，假设K1不是最优二叉搜索树，那么我们将K1当前的搜索树剪掉，将K1的最优二叉搜索树粘贴进去，得到一棵更优的二叉搜索树，这与原问题矛盾，不成立！所以这里最优二叉搜索树具有最优子结构！

一个递归算法

我们首先假设问题的域为kiki到kjkj,其中i>=1, j <=n且j>=n-1i>=1,j<=n且j>=n−1,e[i...j]表示i到j的最小搜索代价！
于是我们有：

1. 当 i=j−1时，这时没有任何的关键字在二叉搜索树中，只包含了为关键字di−1，即e[i,i−1]=qi−1
2. 当i>j−1时，我们需要在i到j−1之前选择一个节点r，使得搜索代价最小.即:
   
   e[i,j]=pr+(e[i,r−1]+weight(i,r−1))+(e[r+1,j]+weight(r+1,j)).
   
   因为:
   
   pr+weight(i,r−1)+weight(r+1,j)=weight(i,j)
   
   所以上式可以简化为:
   
   e[i,j]=e[i,r−1]+e[r+1,j]+weight(i,j)
   
   上面的第二种情况假定最优点是在r上面，如果选择代价最低者作为根节点，最终得到下面的递归式：
   
   e[i,j]=⎧⎩⎨⎪⎪di−1,min { e[i,i−1]+e[i+1,j]+weight(i,j),e[i,i]+e[i+2,j]+weight(i,j),...,e[i,j]+e[j+1][j]+weight(i,j) } ,i=j−1i<=j

计算最优二叉树的期望搜索代价

下面采用自上而下和自下而上的代码实现：

/************************************************** @Filename:    searchBinaryTree_v1.cc* @Author:      qeesung* @Email:       [e-mail]* @DateTime:    2015-04-19 09:48:21* @Version:     1.0* @Description: 最优二叉搜索树的算法实现，这里首先采用自上而下的求解方法**************************************************/#include <iostream>#include <vector>#include <utility>using namespace std;#define MAX_KEY_COUNT 10// 关键字的数量double dealBestBSTree(int i , int j ,\    std::vector<pair<string , double> > keyMap,\    std::vector<pair<string , double> > fKeyMap);/** * 保存i到j的最优解开 * 为了就算e[i][i-1] e[j+1][j]这种情况，所以将行设了比列多大一维 */double minWeightArray[MAX_KEY_COUNT+2][MAX_KEY_COUNT+1];/** * 为了保存weight i到j的权重之和，不用每次都计算 * 为了计算weigh[i][i-1]情况，行比列多了一维 */double weight[MAX_KEY_COUNT+2][MAX_KEY_COUNT+1];/** * 为了递归计算出weight[i][j]的值 * @param  i       左边界，需要从1开始 * @param  j       右边界 * @param  keyMap  关键字序列 * @param  fKeyMap 伪关键字序列 * @return         i到j的权重 */double computeWeight(int i , int j , \    std::vector<pair<string , double> > keyMap,\    std::vector<pair<string , double> > fKeyMap){    if(i-1 == j)        weight[i][j] = fKeyMap[j].second;    else        weight[i][j]=computeWeight(i , j-1 , keyMap , fKeyMap)+keyMap[j].second+fKeyMap[j].second;    return weight[i][j];}/** * 最优二叉搜索树的接口 * @param keyMap  关键字序列 * @param fKeyMap 伪关键字序列 * @return 返回最优二叉搜索树的权重 */double bestBSTree(std::vector<pair<string , double> > keyMap,\    std::vector<pair<string , double> > fKeyMap){    if(keyMap.size()-1 > MAX_KEY_COUNT)    {        cerr<<"key count should less than "<<MAX_KEY_COUNT<<endl;        return 0.0;     }    /** 多次初始化i到j的权重 */    for (int k = 1 ; k <= keyMap.size()-1+1 ; ++k)    {        computeWeight(k , keyMap.size()-1 , keyMap , fKeyMap);    }    cout<<"weight array"<<endl;    for (int i =1 ; i<= keyMap.size() ; ++i)    {        for (int j = 0 ; j<keyMap.size() ; ++j)        {            cout<<weight[i][j]<<"\t";        }        cout<<endl;    }    // 现在已经将权重数据全都保存到weight里面了    //     // 开始计算最优    dealBestBSTree(1,keyMap.size()-1,keyMap , fKeyMap);    cout<<"min weight array"<<endl;    for (int i =1 ; i<= keyMap.size() ; ++i)    {        for (int j = 0 ; j<keyMap.size() ; ++j)        {            cout<<minWeightArray[i][j]<<"\t";        }        cout<<endl;    }    return minWeightArray[1][keyMap.size()-1];}/** * 最优二叉搜索树的实际递归函数 * @param  i       左边界 * @param  j       右边界 * @param  keyMap  关键字序列 * @param  fKeyMap 伪关键字序列 * @return         i到j的最优值 */double dealBestBSTree(int i , int j ,\    std::vector<pair<string , double> > keyMap,\    std::vector<pair<string , double> > fKeyMap){    if(i-1 == j)    {        minWeightArray[i][j] = weight[i][j];            return weight[i][j];    }    if(minWeightArray[i][j]!=0)        return minWeightArray[i][j];    // 表示没有被计算过，现在开始计算    double min= 10.0;    for(int k = i ; k <= j ; ++k)    {        double temp = dealBestBSTree(i , k-1 , keyMap , fKeyMap)+\                      dealBestBSTree(k+1,j , keyMap  , fKeyMap)+weight[i][j];        if(temp < min)            min = temp;    }    minWeightArray[i][j] = min;    return min;}int main(int argc, char const *argv[]){    std::vector<pair<string , double> > keyMap;    std::vector<pair<string , double> > fKeyMap;    // keyMap[0]是用不到的，只是为了填充，因为关键字是从1开始的    keyMap.push_back(pair<string , double>("k1", 0.15));    keyMap.push_back(pair<string , double>("k1", 0.15));    keyMap.push_back(pair<string , double>("k2", 0.1));    keyMap.push_back(pair<string , double>("k3", 0.05));    keyMap.push_back(pair<string , double>("k4", 0.1));    keyMap.push_back(pair<string , double>("k5", 0.2));    fKeyMap.push_back(pair<string , double>("d0", 0.05));    fKeyMap.push_back(pair<string , double>("d1", 0.1));    fKeyMap.push_back(pair<string , double>("d2", 0.05));    fKeyMap.push_back(pair<string , double>("d3", 0.05));    fKeyMap.push_back(pair<string , double>("d4", 0.05));    fKeyMap.push_back(pair<string , double>("d5", 0.1));    cout<<"The binary search tree min weight is:"<<bestBSTree(keyMap , fKeyMap)<<endl;    while(1);    return 0;}

/************************************************** @Filename:    searchBinaryTree_v1.cc* @Author:      qeesung* @Email:       [e-mail]* @DateTime:    2015-04-19 09:48:21* @Version:     1.0* @Description: 最优二叉搜索树的算法实现，这里首先采用自下而上的方法求解**************************************************/#include <iostream>#include <vector>#include <utility>using namespace std;#define MAX_KEY_COUNT 10// 关键字的数量void dealBestBSTree(int i , int j ,\    std::vector<pair<string , double> > keyMap,\    std::vector<pair<string , double> > fKeyMap);/** * 保存i到j的最优解开 * 为了就算e[i][i-1] e[j+1][j]这种情况，所以将行设了比列多大一维 */double minWeightArray[MAX_KEY_COUNT+2][MAX_KEY_COUNT+1];/** * 为了保存weight i到j的权重之和，不用每次都计算 * 为了计算weigh[i][i-1]情况，行比列多了一维 */double weight[MAX_KEY_COUNT+2][MAX_KEY_COUNT+1];/** * 为了递归计算出weight[i][j]的值 * @param  i       左边界，需要从1开始 * @param  j       右边界 * @param  keyMap  关键字序列 * @param  fKeyMap 伪关键字序列 * @return         i到j的权重 */double computeWeight(int i , int j , \    std::vector<pair<string , double> > keyMap,\    std::vector<pair<string , double> > fKeyMap){    if(i-1 == j)        weight[i][j] = fKeyMap[j].second;    else        weight[i][j]=computeWeight(i , j-1 , keyMap , fKeyMap)+keyMap[j].second+fKeyMap[j].second;    return weight[i][j];}/** * 最优二叉搜索树的接口 * @param keyMap  关键字序列 * @param fKeyMap 伪关键字序列 * @return 返回最优二叉搜索树的权重 */double bestBSTree(std::vector<pair<string , double> > keyMap,\    std::vector<pair<string , double> > fKeyMap){    if(keyMap.size()-1 > MAX_KEY_COUNT)    {        cerr<<"key count should less than "<<MAX_KEY_COUNT<<endl;        return 0.0;     }    /** 多次初始化i到j的权重 */    for (int k = 1 ; k <= keyMap.size()-1+1 ; ++k)    {        computeWeight(k , keyMap.size()-1 , keyMap , fKeyMap);    }    cout<<"weight array"<<endl;    for (int i =1 ; i<= keyMap.size() ; ++i)    {        for (int j = 0 ; j<keyMap.size() ; ++j)        {            cout<<weight[i][j]<<"\t";        }        cout<<endl;    }    // 现在已经将权重数据全都保存到weight里面了    //     // 开始计算最优    dealBestBSTree(1,keyMap.size()-1,keyMap , fKeyMap);    cout<<"min weight array"<<endl;    for (int i =1 ; i<= keyMap.size() ; ++i)    {        for (int j = 0 ; j<keyMap.size() ; ++j)        {            cout<<minWeightArray[i][j]<<"\t";        }        cout<<endl;    }    return minWeightArray[1][keyMap.size()-1];}/** * 最优二叉搜索树的实际递归函数 * @param  i       左边界 * @param  j       右边界 * @param  keyMap  关键字序列 * @param  fKeyMap 伪关键字序列 * @return         i到j的最优值 */void dealBestBSTree(int i , int j ,\    std::vector<pair<string , double> > keyMap,\    std::vector<pair<string , double> > fKeyMap){    // 初始化minWeightArray数组，将 i-1 == j的情况全都赋值    for(int k = i ; k <= j+1 ; ++k)    {        minWeightArray[k][k-1] = weight[k][k-1];    }    // 下面自下而上的来求解    for(int k = 0 ; k < j-i+1 ; ++k)    {        for(int m = i ; m <= j ; ++m)        {            double min = 10.0;            for(int w = m ; w <= m+k ; ++w )            {                double temp = minWeightArray[m][w-1]+minWeightArray[w+1][m+k]+weight[m][m+k];                if(temp < min)                    min = temp;            }            minWeightArray[m][m+k] = min;        }    }}int main(int argc, char const *argv[]){    std::vector<pair<string , double> > keyMap;    std::vector<pair<string , double> > fKeyMap;    // keyMap[0]是用不到的，只是为了填充，因为关键字是从1开始的    keyMap.push_back(pair<string , double>("k1", 0.15));    keyMap.push_back(pair<string , double>("k1", 0.15));    keyMap.push_back(pair<string , double>("k2", 0.1));    keyMap.push_back(pair<string , double>("k3", 0.05));    keyMap.push_back(pair<string , double>("k4", 0.1));    keyMap.push_back(pair<string , double>("k5", 0.2));    fKeyMap.push_back(pair<string , double>("d0", 0.05));    fKeyMap.push_back(pair<string , double>("d1", 0.1));    fKeyMap.push_back(pair<string , double>("d2", 0.05));    fKeyMap.push_back(pair<string , double>("d3", 0.05));    fKeyMap.push_back(pair<string , double>("d4", 0.05));    fKeyMap.push_back(pair<string , double>("d5", 0.1));    cout<<"The binary search tree min weight is:"<<bestBSTree(keyMap , fKeyMap)<<endl;    while(1);    return 0;}

下面两个是带有求解决方案的代码，也是自上而下和自下而上的：

/************************************************** @Filename:    searchBinaryTree_v1.cc* @Author:      qeesung* @Email:       [e-mail]* @DateTime:    2015-04-19 09:48:21* @Version:     1.0* @Description: 最优二叉搜索树的算法实现，这里首先采用自上而下的求解方法,这里需要求出最优解**************************************************/#include <iostream>#include <vector>#include <utility>using namespace std;#define MAX_KEY_COUNT 10// 关键字的数量double dealBestBSTree(int i , int j ,\    std::vector<pair<string , double> > keyMap,\    std::vector<pair<string , double> > fKeyMap);/** * 保存i到j的最优解开 * 为了就算e[i][i-1] e[j+1][j]这种情况，所以将行设了比列多大一维 */double minWeightArray[MAX_KEY_COUNT+2][MAX_KEY_COUNT+1];/** * 为了保存weight i到j的权重之和，不用每次都计算 * 为了计算weigh[i][i-1]情况，行比列多了一维 */double weight[MAX_KEY_COUNT+2][MAX_KEY_COUNT+1];/** * 保存在i到j的切分点 */double rootPoint[MAX_KEY_COUNT][MAX_KEY_COUNT];void printSolution(int i , int j , std::vector<pair<string , double> > keyMap,\    std::vector<pair<string , double> > fKeyMap){    if( i == j)    {        cout<<"from "<<i<<" to "<<j<<" root is "<<keyMap[i].first<<endl;        return;    }    cout<<"from "<<i<<" to "<<j<<" root is "<<keyMap[rootPoint[i][j]].first<<endl;    printSolution(i , rootPoint[i][j]-1 , keyMap , fKeyMap);    printSolution(rootPoint[i][j]+1 , j , keyMap , fKeyMap);    return;}/** * 为了递归计算出weight[i][j]的值 * @param  i       左边界，需要从1开始 * @param  j       右边界 * @param  keyMap  关键字序列 * @param  fKeyMap 伪关键字序列 * @return         i到j的权重 */double computeWeight(int i , int j , \    std::vector<pair<string , double> > keyMap,\    std::vector<pair<string , double> > fKeyMap){    if(i-1 == j)        weight[i][j] = fKeyMap[j].second;    else        weight[i][j]=computeWeight(i , j-1 , keyMap , fKeyMap)+keyMap[j].second+fKeyMap[j].second;    return weight[i][j];}/** * 最优二叉搜索树的接口 * @param keyMap  关键字序列 * @param fKeyMap 伪关键字序列 * @return 返回最优二叉搜索树的权重 */double bestBSTree(std::vector<pair<string , double> > keyMap,\    std::vector<pair<string , double> > fKeyMap){    if(keyMap.size()-1 > MAX_KEY_COUNT)    {        cerr<<"key count should less than "<<MAX_KEY_COUNT<<endl;        return 0.0;     }    /** 多次初始化i到j的权重 */    for (int k = 1 ; k <= keyMap.size()-1+1 ; ++k)    {        computeWeight(k , keyMap.size()-1 , keyMap , fKeyMap);    }    cout<<"weight array"<<endl;    for (int i =1 ; i<= keyMap.size() ; ++i)    {        for (int j = 0 ; j<keyMap.size() ; ++j)        {            cout<<weight[i][j]<<"\t";        }        cout<<endl;    }    // 现在已经将权重数据全都保存到weight里面了    //     // 开始计算最优    dealBestBSTree(1,keyMap.size()-1,keyMap , fKeyMap);    cout<<"min weight array"<<endl;    for (int i =1 ; i<= keyMap.size() ; ++i)    {        for (int j = 0 ; j<keyMap.size() ; ++j)        {            cout<<minWeightArray[i][j]<<"\t";        }        cout<<endl;    }    return minWeightArray[1][keyMap.size()-1];}/** * 最优二叉搜索树的实际递归函数 * @param  i       左边界 * @param  j       右边界 * @param  keyMap  关键字序列 * @param  fKeyMap 伪关键字序列 * @return         i到j的最优值 */double dealBestBSTree(int i , int j ,\    std::vector<pair<string , double> > keyMap,\    std::vector<pair<string , double> > fKeyMap){    if(i-1 == j)    {        minWeightArray[i][j] = weight[i][j];            return weight[i][j];    }    if(minWeightArray[i][j]!=0)        return minWeightArray[i][j];    // 表示没有被计算过，现在开始计算    double min = 10.0;    int rootPos = i;    for(int k = i ; k <= j ; ++k)    {        double temp = dealBestBSTree(i , k-1 , keyMap , fKeyMap)+\                      dealBestBSTree(k+1,j , keyMap  , fKeyMap)+weight[i][j];        if(temp < min)        {            min = temp;            rootPos = k;        }    }    minWeightArray[i][j] = min;    rootPoint[i][j] = rootPos;    return min;}int main(int argc, char const *argv[]){    std::vector<pair<string , double> > keyMap;    std::vector<pair<string , double> > fKeyMap;    // keyMap[0]是用不到的，只是为了填充，因为关键字是从1开始的    keyMap.push_back(pair<string , double>("k1", 0.15));    keyMap.push_back(pair<string , double>("k1", 0.15));    keyMap.push_back(pair<string , double>("k2", 0.1));    keyMap.push_back(pair<string , double>("k3", 0.05));    keyMap.push_back(pair<string , double>("k4", 0.1));    keyMap.push_back(pair<string , double>("k5", 0.2));    fKeyMap.push_back(pair<string , double>("d0", 0.05));    fKeyMap.push_back(pair<string , double>("d1", 0.1));    fKeyMap.push_back(pair<string , double>("d2", 0.05));    fKeyMap.push_back(pair<string , double>("d3", 0.05));    fKeyMap.push_back(pair<string , double>("d4", 0.05));    fKeyMap.push_back(pair<string , double>("d5", 0.1));    cout<<"The binary search tree min weight is:"<<bestBSTree(keyMap , fKeyMap)<<endl;    printSolution(1,keyMap.size()-1,keyMap , fKeyMap);    while(1);    return 0;}

/************************************************** @Filename:    searchBinaryTree_v1.cc* @Author:      qeesung* @Email:       [e-mail]* @DateTime:    2015-04-19 09:48:21* @Version:     1.0* @Description: 最优二叉搜索树的算法实现，这里首先采用自下而上的方法求解,带有解决方案**************************************************/#include <iostream>#include <vector>#include <utility>using namespace std;#define MAX_KEY_COUNT 10// 关键字的数量void dealBestBSTree(int i , int j ,\    std::vector<pair<string , double> > keyMap,\    std::vector<pair<string , double> > fKeyMap);/** * 保存i到j的最优解开 * 为了就算e[i][i-1] e[j+1][j]这种情况，所以将行设了比列多大一维 */double minWeightArray[MAX_KEY_COUNT+2][MAX_KEY_COUNT+1];/** * 为了保存weight i到j的权重之和，不用每次都计算 * 为了计算weigh[i][i-1]情况，行比列多了一维 */double weight[MAX_KEY_COUNT+2][MAX_KEY_COUNT+1];/** * 保存在i到j的切分点 */double rootPoint[MAX_KEY_COUNT][MAX_KEY_COUNT];void printSolution(int i , int j , std::vector<pair<string , double> > keyMap,\    std::vector<pair<string , double> > fKeyMap){    if( i == j)    {        cout<<"from "<<i<<" to "<<j<<" root is "<<keyMap[i].first<<endl;        return;    }    cout<<"from "<<i<<" to "<<j<<" root is "<<keyMap[rootPoint[i][j]].first<<endl;    printSolution(i , rootPoint[i][j]-1 , keyMap , fKeyMap);    printSolution(rootPoint[i][j]+1 , j , keyMap , fKeyMap);    return;}/** * 为了递归计算出weight[i][j]的值 * @param  i       左边界，需要从1开始 * @param  j       右边界 * @param  keyMap  关键字序列 * @param  fKeyMap 伪关键字序列 * @return         i到j的权重 */double computeWeight(int i , int j , \    std::vector<pair<string , double> > keyMap,\    std::vector<pair<string , double> > fKeyMap){    if(i-1 == j)        weight[i][j] = fKeyMap[j].second;    else        weight[i][j]=computeWeight(i , j-1 , keyMap , fKeyMap)+keyMap[j].second+fKeyMap[j].second;    return weight[i][j];}/** * 最优二叉搜索树的接口 * @param keyMap  关键字序列 * @param fKeyMap 伪关键字序列 * @return 返回最优二叉搜索树的权重 */double bestBSTree(std::vector<pair<string , double> > keyMap,\    std::vector<pair<string , double> > fKeyMap){    if(keyMap.size()-1 > MAX_KEY_COUNT)    {        cerr<<"key count should less than "<<MAX_KEY_COUNT<<endl;        return 0.0;     }    /** 多次初始化i到j的权重 */    for (int k = 1 ; k <= keyMap.size()-1+1 ; ++k)    {        computeWeight(k , keyMap.size()-1 , keyMap , fKeyMap);    }    cout<<"weight array"<<endl;    for (int i =1 ; i<= keyMap.size() ; ++i)    {        for (int j = 0 ; j<keyMap.size() ; ++j)        {            cout<<weight[i][j]<<"\t";        }        cout<<endl;    }    // 现在已经将权重数据全都保存到weight里面了    //     // 开始计算最优    dealBestBSTree(1,keyMap.size()-1,keyMap , fKeyMap);    cout<<"min weight array"<<endl;    for (int i =1 ; i<= keyMap.size() ; ++i)    {        for (int j = 0 ; j<keyMap.size() ; ++j)        {            cout<<minWeightArray[i][j]<<"\t";        }        cout<<endl;    }    return minWeightArray[1][keyMap.size()-1];}/** * 最优二叉搜索树的实际递归函数 * @param  i       左边界 * @param  j       右边界 * @param  keyMap  关键字序列 * @param  fKeyMap 伪关键字序列 * @return         i到j的最优值 */void dealBestBSTree(int i , int j ,\    std::vector<pair<string , double> > keyMap,\    std::vector<pair<string , double> > fKeyMap){    // 初始化minWeightArray数组，将 i-1 == j的情况全都赋值    for(int k = i ; k <= j+1 ; ++k)    {        minWeightArray[k][k-1] = weight[k][k-1];    }    // 下面自下而上的来求解    for(int k = 0 ; k < j-i+1 ; ++k)    {        for(int m = i ; m <= j ; ++m)        {            double min = 10.0;            int rootPos = i;            for(int w = m ; w <= m+k ; ++w )            {                double temp = minWeightArray[m][w-1]+minWeightArray[w+1][m+k]+weight[m][m+k];                if(temp < min)                {                    min = temp;                    rootPos = w;                }            }            rootPoint[m][m+k] = rootPos;            minWeightArray[m][m+k] = min;        }    }}int main(int argc, char const *argv[]){    std::vector<pair<string , double> > keyMap;    std::vector<pair<string , double> > fKeyMap;    // keyMap[0]是用不到的，只是为了填充，因为关键字是从1开始的    keyMap.push_back(pair<string , double>("k1", 0.15));    keyMap.push_back(pair<string , double>("k1", 0.15));    keyMap.push_back(pair<string , double>("k2", 0.1));    keyMap.push_back(pair<string , double>("k3", 0.05));    keyMap.push_back(pair<string , double>("k4", 0.1));    keyMap.push_back(pair<string , double>("k5", 0.2));    fKeyMap.push_back(pair<string , double>("d0", 0.05));    fKeyMap.push_back(pair<string , double>("d1", 0.1));    fKeyMap.push_back(pair<string , double>("d2", 0.05));    fKeyMap.push_back(pair<string , double>("d3", 0.05));    fKeyMap.push_back(pair<string , double>("d4", 0.05));    fKeyMap.push_back(pair<string , double>("d5", 0.1));    cout<<"The binary search tree min weight is:"<<bestBSTree(keyMap , fKeyMap)<<endl;    printSolution(1,keyMap.size()-1,keyMap , fKeyMap);    while(1);    return 0;}