求解字符串间最短距离(字符串相似度)

问题描述：

给定任意两个字符串，比如：str1=“abcd”和str2=“gbcdz”,计算这两个字符串间的相似度。计算两字符串的相似度可等价于计算将str1变换到str2所需要的最少步骤。

问题分析：

为计算将str1变换到str2所需最小操作步骤，必须先对变换操作进行定义：

1. 修改一个字符（如把“a”替换为“g”）;
2. 增加一个字符（如把“abcd”变为“abcdz”）;
3. 删除一个字符（如把“travelling”变为“traveling”）;

字符串变换过程中执行了上述三个操作之间的任一操作，则两字符串间距离就加1。例如将上文中的str1变换到str2，即“abcd”到“gbcdz”，通过“abcd”->（操作1）->“gbcd”->（操作2）->“gbcdz”,需进行一次修改和一次添加字符操作，故两字符串距离为2，那么字符串相似度则为距离+1的倒数，即1/3=0.333。这是由俄罗斯科学家Vladimir Levenshtein在1965年提出这个概念。因此也叫Levenshtein Distance。

那么如果给定两个任意字符串，如何计算它们距离呢？

问题解决：

解决此问题最好的方法是采用动态规划的方法。如下：

设str1=“abcd”，str2=“gbcdz”，定义一个二维数组d[][]，d[i][j]表示str1中取前i个字符和str2中取前j个字符的最短距离，例如d[3][2]表示“abc”到“gb”的最短距离。

d[i][j]的计算规则有三条：

• 来自d[i - i][j - 1]，即 “str1的前i-1个字符组成的子串” 到 “str2的前j-1个字符组成的子串” 的最小距离，此时如果str1[i] = str2[j]，则最短距离不变，否则最短距离加1（即把str1[i]变为str2[j] ），所以d[i][j] = d[i - 1][j - 1] + (str1[i] == str2[j] ? 0 : 1)
• 来自d[i - 1][j]，即 “A的前i-1个字符组成的子串” 到 “B的前j个字符组成的子串” 的编辑距离。此时删除在A的第i个位置上的字符即可，所以d[i][j] = d[i - 1][j] + 1
• 来自d[i][j - 1], 即 “A的前i个字符组成的子串” 到 “B的前j-1个字符组成的子串” 的编辑距离。此时在A的子串后面添加一个字符B[j]即可，所以d[i][j] = d[i][j - 1] + 1
  于是状态转移方程：d[i][j] = min (d[i - 1][j - 1] + (str1[i] == str2[j] ? 0 : 1) , d[i - 1][j] + 1 , d[i][j - 1] + 1)

例如str1=“abcd”，str2=“gbcdz”的d[][]就为（注意i，j的取值范围）：

代码实现(anycodex.com在线编译器测试通过，试一试？)：

#include <stdio.h>#include <stdlib.h>#include <string.h>int min(int a, int b, int c);int calc(char* a, char* b);int main(void){printf("%d",calc("abcd", "gbcdz"));return EXIT_SUCCESS;}int min(int a, int b, int c){    if(a > b)        a = b;    if(a > c)        a = c;    return a;}int calc(char* a, char* b){    int lenA = strlen(a);    int lenB = strlen(b);    int d[lenA+1][lenB+1];    for(int i=0;i<=lenA;++i)        d[i][0] = i;    for(int i=0;i<=lenB;++i)        d[0][i] = i;    for(int i=1;i<=lenA;++i)        for(int j=1;j<=lenB;++j)            d[i][j] = min(d[i-1][j-1] + (a[i-1] == b[j-1] ? 0:1), d[i-1][j]+1, d[i][j-1]+1);    return d[lenA][lenB];}