堆

首先要明确一点：堆是一种数据结构，而不能算是一种算法，并且堆这种数据结构是基于书这种数据结构的，接下来我将要写的是堆的向下转换和向上转换。

究竟什么是堆？？？

堆其实就是一种带有条件的完全二叉树，堆分为两种：一，最小堆     二，最大堆，当父节点比孩子节点都要小时为最小堆，当父节点比孩子节点都要大时为最大堆。

堆有很多用途，并且有时候对效率有非常大的提升，接下来我就以《啊哈算法》中的例子来解析一下堆这种数据结构。

例子：有如下一个树：

这就是一种最小堆，根据上面我们讲的堆得原理，我们可以知道在最小堆中，堆得根节点就是堆中的最小的一个节点，（注意：在一棵二叉树中 如果父节点时k 则其左孩子是2*k 右节点是2*k+1），如果我们求这些节点中的最小的一个数，并且再插入一个数，我们应该怎么做呢？

最开始的想法（完全就不往数这方面想），我会把这些节点存到数组中，然后用for循环找到最小值，然后再把最小值删除，再插入一个新值，这样的话，时间复杂度就是O（N）,其实对于这样的问题，用堆这种数据结构是比较好的，具体怎么用呢？

首先我们可以把这样一个堆（其实就是上图的树），存入数组中，数组的第一个元素就是根节点，即最小的节点，（是不是还在等着循环？ 哈哈 不用循环最小元素已经找到啦），接下来的问题就是插入一个新元素啦，这一点我们需要注意，因为为了下一次这个堆的根节点还是最小节点，我们在插入新的节点后，还是要把这个树整理成一个堆，这就是重点要讲的向下转换问题。

如图所示；当我们把根节点取出来，在插入一个新的节点，就像下图这样：

我们会发现插入23后，这个树已经不再是堆了，如果想要变成最小堆，就必须要根据父节点总是比子节点小这个原理把23这个节点向下转换。

第一步：

和子孩子进行向下转换！

第二步：

再和右孩子进行转换！

最后一步：

可以发现，只需要三步，就重新弄成了一个最小堆，这意味着只需要三步，就可以取出两个最小值，如果用循环，我们需要循环两个N。

接下来是用代码实现：

用数组 p[50] 存放这个堆（也就是树）

void siftdown(int i)
{
int t,flag=0;//t是临时变量，flag是一个标记。
while(i*2<n&&flag==0)// 如果存在左孩子（因为是完全二叉树，所以可能没有右孩子），并且标记没有变化，就执行转换操作
{
if(p[i]>p[i*2])//如果父节点比左孩子大
t=i*2;//把较小的节点的下标给临时变量
else
t=i;
if(p[t]>p[i*2+1]&&i*2+1<n)//把找到的较小的节点再跟右孩子进行比较
{
t=i*2+1;
}// 上面几行就是找父节点和两个孩子节点哪一个最小，把最小节点的下标存入临时变量
if(t!=i)// 如果所求出的最小节点不是刚开始的节点，就进行交换，如果是刚开始的节点，就说明此节点符合最下堆得原理，就完成了转换，把标记转换为 1 

{
swap(t,i);

i=t;//把转换的节点进行更新，再进行下一次转换

}
else
flag=1;

}
}

这就是向下转换！

还有一种是向上转换，就是把一个新的节点插入到这颗堆的最后，如果不再是堆，就一步步的向上转换，使之再次成为一个堆，这也是在堆中插入新元素的算法。

直接上代码：

void siftup(int i)
{
if(i==1)//如果此节点就是根节点，就不用调整
return ;
while(i!=1&&flag==0)
{
if(p[i]<p[i/2])// 如果子节点小于父节点，则进行交换
{
t=i/2;
swap(i,t);//此函数要自己实现，交换的不是角标，而是值
i=t;
}
else
{
flag=1;
}
}
}

注意向上转换和向下转换的代码的不同：向下转换时，需要在父节点和孩子节点中找到一个最小的节点，，因为如果一个父节点有两个孩子节点，则转换的时候需要和较小的子节点进行转换，而向上转换时，只需要和父节点比较即可，因为如果此节点比父节点小，则一定比其兄弟节点小。

接下来就是怎么建立堆得问题！

一， 

假设有m个顶点

for(int i=1;i<=m;i++)

{

scanf("%d",&p[i]);

siftup(i);

}

二，

先把数存到数组中（其实就是一个树用数组存起来），然后再对每一个子树的父节点进行遍历和调整，直到最后形成一个堆。

代码如下：

for(int i=n/2;i>=1;i--)//如果一个完全二叉树树有n个节点，那么第一个非叶子节点是n/2

{

siftdown(i);

}

最后还有一个著名的堆排序算法，这个有时间再写！

此文改编自《啊哈算法》！