华为OJ2288-合唱队(最长递增子序列)
来源:互联网 发布:java rowurlencode 编辑:程序博客网 时间:2024/06/07 16:16
一、题目描述
描述:
N位同学站成一排,音乐老师要请其中的(N-K)位同学出列,使得剩下的K位同学不交换位置就能排成合唱队形。
合唱队形是指这样的一种队形:设K位同学从左到右依次编号为1, 2, …, K,他们的身高分别为T1, T2, …, TK,则他们的身高满足T1 < T2 < … < Ti , Ti > Ti+1 > … > TK (1 <= i <= K) 。
你的任务是,已知所有N位同学的身高,计算最少需要几位同学出列,可以使得剩下的同学排成合唱队形。
输入:
第一行整数 N,表示同学的总数
第二行整数数组,空格隔开,表示 N 位同学身高
输出:
最少需要几位同学出列
样例输入:
8186 186 150 200 160 130 197 200
样例输出:
4
二、最长递增子序列
最长递增子序列(Longest Increasing Subsequence)是指找到一个给定序列的最长子序列的长度,使得子序列中的所有元素单调递增。
例如:{ 3,5,7,1,2,8 } 的 LIS 是 { 3,5,7,8 },长度为 4。
解法一:转化为求最长公共子序列
其实可以把 求最长递增子序列问题 转化为 求最长公共子序列的问题。
- 设数组 { 3, 5, 7, 1, 2, 8 } 为 A
- 对数组 A 排序,排序后的数组为 B = { 1, 2, 3, 5, 7, 8 }。
- 于是,求数组 A 的最长递增子序列,就是求数组 A 与数组 B 的最长公共子序列。
最长公共子序列的求法见《动态规划DP》。本方法的时间复杂度是
解法二:动态规划法
虽然解法一也是使用动态规划,但是与解法一不同的是,解法二不进行转化,而是直接在原问题上采用动态规划法。
最优子结构:
对于长度为 N 的数组
也就是
重叠子问题:
根据上述推导式采用递归实现的话,有些子问题会被计算很多次。
动态规划法:
综上所述,LIS 问题具有动态规划需要的两个性质,可以使用动态规划求解该问题。设数组 A = { 3,5,7,1,2,8 },则:
具体的打表方式如下:
- 初始化对角线为 1;
- 对每一个 i,遍历 j(0 到 i-1):
- 若
A[i] <= A[j]
,置 1。 - 若
A[i] > A[j]
,取第 j 行的最大值加 1。
- 若
打完表以后,最后一行的最大值就是最长递增子序列的长度。由于每次都进行遍历,故时间复杂度还是
通常在实现的时候我们不会创建一整个表,因为这样太浪费空间。由打表的过程可知,我们只需要一个一维数组来保存每一行的最大值即可:
// LIS 的动态规划方式实现#include <iostream>using namespace std;int getLISLength(int A[], int len){ /* 一维数组 */ int* lis = new int[len]; /* 初始化为1 */ for (int i = 0; i < len; ++i) lis[i] = 1; /* 计算每个i对应的lis最大值,即打表的过程 */ for (int i = 1; i < len; ++i) for (int j = 0; j < i; ++j) // 0到i-1 if ( A[i] > A[j] && lis[i] < lis[j]+1) lis[i] = lis[j] + 1; // 更新 /* 数组中最大的那个,就是最长递增子序列的长度 */ int maxlis = 0; for (int i = 0; i < len; ++i) if ( maxlis < lis[i] ) maxlis = lis[i]; delete [] lis; return maxlis;}int main(){ int arr[] = {3, 5, 7, 1, 2, 8}; cout << getLISLength(arr, 6) << endl; return 0;}
解法三:Θ(nlgn)的方案
本解法的具体操作如下:
- 开一个栈,依次读取数组元素 x 与栈顶元素 top:
- 如果 x > top,将 x 入栈;
- 如果 x < top,则二分查找栈中第一个 大于等于x 的数,并用 x 替换它。
遍历结束之后,最长递增序列长度即为栈的大小。
int getLISLength(int A[], int len){ vector<int> v; // 模拟栈 for(int i=0; i<len; ++i) { if(v.size()==0 || v.back()<A[i]) v.push_back(A[i]); else // 二分查找 { int mid, low=0, high=v.size()-1; while(low<high) { mid = (low+high)/2; if(v[mid] < A[i]) low = mid + 1; else high = mid - 1; } v[low] = A[i]; // 替换 } } return v.size();}
由于使用了二分搜索,故时间复杂度变成了
特别注意的是:本方法只能用于求最长递增子序列的长度,千万不要以为栈中的序列就是最长递增子序列:
例一:原序列为1,5,8,3,6,7
栈为1,5,8,此时读到3,用3替换5,得到1,3,8; 再读6,用6替换8,得到1,3,6;再读7,得到最终栈为1,3,6,7。最长递增子序列为长度4。例二:原序列为1,5,8,3
则最终栈为1,3,8。明显这不是最长递增子序列!
三、解题报告
根据题意可知,我们需要求出一个“中间点”,使得其左边的【最长递增子序列】和其右边的【最长递减子序列】之和最大。
#include <iostream>using namespace std;int main(){ int len; cin >> len; int *A = new int[len]; for(int i=0; i<len; ++i) cin >> A[i]; // lis[i]表示以A[i]为结尾的最长递增子序列的长度 int *lis = new int[len]; // lds[i]表示以A[i]为起点的最长递减子序列的长度 int *lds = new int[len]; for (int i = 0; i < len; ++i) { lis[i] = 1; lds[i] = 1; } for(int i=1; i<len; ++i) for(int j=0; j<i; ++j) if(A[i] > A[j] && lis[i] < lis[j]+1) lis[i] = lis[j] + 1; for(int i=len-2; i>=0; --i) for(int j=len-1; j>i; --j) if(A[i] > A[j] && lds[i] < lds[j]+1) lds[i] = lds[j] + 1; int maxl = 0; for(int i=0; i<len; ++i) if(maxl < lis[i]+lds[i]) maxl = lis[i] + lds[i]; cout << len - maxl + 1 << endl; delete [] lis; delete [] lds; delete [] A; return 0;}
个人站点:http://songlee24.github.com
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