最长递增子序列的问题----两个经典题目：合唱队和Redraiment走法（简单动态规划）

动态规划：将递归算法重新写成非递归算法，让后者把那些子问题的答案系统的记录在一个表内，利用这种方法的技巧叫做动态规划。

此处黑人问号？？？？？？？？？

概念太抽象，还是具体上一点动态规划的例子吧

例1：计算斐波那契数：f(n) = f(n-1) + f(n-2) , f(0)=1 , f(1)=1 

根据递推公式，我们可以很容易的写出计算斐波那契数的递归函数程序：

int Fibonacci( int N ){

if(N<=1)

return 1;

else

return Fibonacci(N-1)+Fibonacci(N-2);

}

                      程序写完很开心，可是编译运行后你会发现，此处黑人问号， what？？？？？？

很不幸，超   时，

怎么会酱紫呢？查了半天，你会发现，简单的去模仿递归算法，效率灰常的低，比如f(4)=f(3)+f(2),f(3)=f(2)+f(1)，重复计算了f(2)，而且随着N的增大，重复计算的规模将达到恐怖级别

那怎么办呢？好办，就是预先用一个表来保存已经算出的值，对已经解过的子问题不再进行递归调用，那这样就可以避免爆炸增长了

现在用迭代 替代 递归重新写一下以上程序：

int Fibonacci ( int N ){

int i=,last,NextToLast,Answer;

if(N<=1)

return 1;

last=NextLast=1;

for(i=2;i<=N;++i){

Answer=last+NextToLast;

NextToLast=Last;

last=Answer;

}

return Answer;

}

            动态规划好用吧，直接将时间复杂度降低到了O(n)

例2：常敲代码手不软的博客，教你彻底学会动态规划入门篇，由于不能转载，此处放一下链接，http://blog.csdn.net/baidu_28312631/article/details/47418773，讲的非常的好，由浅入深讲解动态规划

例3：依然是常敲代码手不软的博客，教你彻底学会动态规划进阶篇，由于不能转载，此处放一下链接，http://blog.csdn.net/baidu_28312631/article/details/47426445

例4：就是以下两个最长递增子序列的问题

下面这两个题目归根结底都是求最长递增子序列问题，本质解法都是动态规划：

一、问题描述

题目一：

题目描述

计算最少出列多少位同学，使得剩下的同学排成合唱队形

说明：

N位同学站成一排，音乐老师要请其中的(N-K)位同学出列，使得剩下的K位同学排成合唱队形。 合唱队形是指这样的一种队形：设K位同学从左到右依

次编号为1，2…，K，他们的身高分别为T1，T2，…，TK，   则他们的身高满足存在i（1<=i<=K）使得T1<T2<......<Ti-1<Ti>Ti+1>......>TK。 你的任

务是，已知所有N位同学的身高，计算最少需要几位同学出列，可以使得剩下的同学排成合唱队形

题目二：

题目描述 

   Redraiment是走梅花桩的高手。Redraiment总是起点不限，从前到后，往高的桩子走，但走的步数最多，不知道

为什么？你能替Redraiment研究他最多走的步数吗？ 

 

样例输入

6

2 5 1 5 4 5

 

样例输出

3

 

提示

Example: 

6个点的高度各为 2 5 1 5 4 5 

如从第1格开始走,最多为3步, 2 4 5 

从第2格开始走,最多只有1步,5 

而从第3格开始走最多有3步,1 4 5 

从第5格开始走最多有2步,4 5

所以这个结果是3

二、问题解决

题目一解题思路：

步骤一：根据题目二中的解题思路，数组data正向求出辅助数组dp1；

步骤二：使用库函数reverse，将数组data反向，然后求出辅助数组dp2；

步骤三：对于正向数组data中的每一个数，设置一个数组dp=dp1[i]+dp2[n-1-i];表明数组中第i个数在正向最长子序列中的位置，以及反向最长子序列中的位置，而且必须注意：该数本身被重复计算了一次

步骤四：根据步骤三，令dp最大值等于max_value,就可以计算出合唱队抛物线队伍，题目要求计算出队人数，所以用n-max_value+1最终需要出队人数。

题目二解题思路：

步骤一：如果存在一个数组data，设置一个同样大小的辅助数组dp，dp为一维数组，并将其所有值初始化为1。例如：data[i]，dp[i]=1,表示data[i]为某个最长子序列中的第1个数字，data[i]，dp[i]=2，表示data[i]为某个最长子序列中的第二个数字；

步骤二：然后判断该数字之前的数字data[j]和data[i]的大小(j<i)，若data[j]<data[i],则dp[i]的值就要变化了，因为它将不再是某个最长子序列的第一个数字；dp[i]=max(dp[i],dp[ j ]+1),要么dp[i]本身较大，要么在dp[j]前提下，加1；

步骤三：根据步骤二，比较数组dp[i]中的值，找出最大值，即会得到最长子序列的长度。