“生动”讲解——矩阵的空间变换

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几何图形的矩阵表示：

我们把每个顶点坐标看成一个行向量，采用齐次坐标法，即每个顶点坐标增加一个相同的分量1作为矩阵的一行，这样就可以用矩阵表示图形了。如：

点A(1,-1)，增加一个分量1，将其作为一个矩阵的行向量A=[1−11]; 
以此类推，所以这个图形可以用矩阵来表示，即：

P=⎛⎝⎜⎜⎜131−2−113−21111⎞⎠⎟⎟⎟

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平移变换：

如果平移向量是(a, b)，点(x, y)平移后的点为(x+a, y+b)。

如下图所示： 

平移变换矩阵:

平移变换矩阵为：⎡⎣⎢10a01b001⎤⎦⎥；

矩阵中的ab表示平移向量(a,b)。

例子：

图形矩阵乘以平移向量的矩阵就可以得出平移后的图形矩阵。例如：

点A(x,y)，则点A的矩阵为[xy1]；当点A的矩阵乘以平移变换矩阵可以得到平移后点的矩阵为：

[xy1 ]⎡⎣⎢10a01b001⎤⎦⎥=[x+ay+b1];

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缩放变换：

缩放中心是坐标原点，点(x,y)缩放到点(my,ny)，m、n是缩放因子。

如下图所示： 

缩放变换矩阵:

缩放变换矩阵为：⎡⎣⎢m000n0001⎤⎦⎥；

矩阵中的m和n分别是x轴和y轴方向的缩放因子。

例子：

图形矩阵乘以缩放因子矩阵就可以得出缩放后的图形矩阵。例如：

点A(x,y)，则点A的矩阵为[xy1]；当点A的矩阵乘以缩放变换矩阵可以得到缩放后点的矩阵为：

[xy1 ]⎡⎣⎢m000n0001⎤⎦⎥=[mxny1];

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旋转变换：

旋转中心是坐标原点。旋转角度是β。

如下图所示： 

旋转变换矩阵:

旋转变换矩阵为：⎡⎣⎢cosθ−sinθ0sinθcosθ0001⎤⎦⎥；

矩阵中的θ是图形绕坐标原点逆时针旋转的角度。

例子：

图形矩阵乘以旋转角度矩阵就可以得出旋转后的图形矩阵。例如：

点A(x,y)，则点A的矩阵为[xy1]；当点A的矩阵乘以旋转变换矩阵可以得到旋转后点的矩阵为：

[xy1 ]⎡⎣⎢cosθ−sinθ0sinθcosθ0001⎤⎦⎥=[xcosθ−ysinθxsinθ+ycosθ1];

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对称变换：

图形关于X轴的对称变换： 

图形关于Y轴的对称变换： 

图形关于原点的对称变换： 

对称变换矩阵:

关于X轴对称变换矩阵为：⎡⎣⎢1000−10001⎤⎦⎥；

关于Y轴对称变换矩阵为：⎡⎣⎢−100010001⎤⎦⎥；

关于原点对称变换矩阵为：⎡⎣⎢−1000−10001⎤⎦⎥；

例子：

图形矩阵乘以对称变换矩阵就可以得出对称变换后的图形矩阵。例如：

点A(x,y)，则点A的矩阵为[xy1]；当点A的矩阵乘以对称变换矩阵可以得到旋转后点的矩阵为：

关于X轴对称变换：[xy1 ]⎡⎣⎢1000−10001⎤⎦⎥=[x−y1];

关于Y轴对称变换：[xy1 ]⎡⎣⎢−100010001⎤⎦⎥=[−xy1];

关于原点对称变换：[xy1 ]⎡⎣⎢−1000−10001⎤⎦⎥=[−x−y1];

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错切变换：

图形关于X轴方向的错切变换，各点的纵坐标不变： 

图形关于Y轴方向的错切变换，各点的横坐标不变： 

错切变换矩阵:

关于X轴错切变换矩阵为：⎡⎣⎢1c0010001⎤⎦⎥；

关于Y轴错切变换矩阵为：⎡⎣⎢100c10001⎤⎦⎥；

c是错切变换因子。

例子：

图形矩阵乘以对称变换矩阵就可以得出错切变换后的图形矩阵。例如：

点A(x,y)，则点A的矩阵为[xy1]；当点A的矩阵乘以错切变换矩阵可以得到错切后点的矩阵为：

关于X轴错切变换：[xy1 ]⎡⎣⎢1c0010001⎤⎦⎥=[x+cyy1];

关于Y轴错切变换：[xy1 ]⎡⎣⎢100c10001⎤⎦⎥=[xcx+y1];

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组合变换：

顾名思义，组合变换就是上面所介绍的平移变换，缩放变换，旋转变换， 对称变换，错切变换的相互作用之后产生的变换。 
通过组合变换可以对图形实现“全方位”“无死角”的改变。

下面由一个例子来介绍一下组合变换：

题目：

如上图所示：

已知点M(3,-1)，平面图形的各个顶点分别为A(-1,2)、B(1,4)、C(3,3)、D(1,2)、E(2,1)。

将图形绕M点顺时针旋转90度。 然后再以M点为缩放中心，缩放因子为2进行缩放。最后求新图形的各顶点坐标。

分析：

通过之前的学习，我们知道这是一个旋转变换。

旋转变换矩阵为：⎡⎣⎢cosθ−sinθ0sinθcosθ0001⎤⎦⎥； 
（矩阵中的θ是图形绕坐标原点逆时针旋转的角度。）

上面明确说明旋转矩阵是图形绕坐标原点，逆时针旋转的角度。 
所以我们需要将M点先平移到坐标原点（最后还需反向平移这个向量）

1. 将M点平移到坐标原点：

平移变换矩阵为：⎡⎣⎢10a01b001⎤⎦⎥； 
矩阵中的ab表示平移向量(a,b)。

点M(3,-1)，原点O(0,0)，所以平移向量为：MO→=(0−3,0−(−1))=(−3,1)

根据平移向量MO→可以求得到平移矩阵为：T平移=⎡⎣⎢10−3011001⎤⎦⎥ 
平移MO→后为： 

2. 将图形绕原点顺时针旋转-90度：

旋转变换矩阵为：⎡⎣⎢cosθ−sinθ0sinθcosθ0001⎤⎦⎥； 
（矩阵中的θ是图形绕坐标原点逆时针旋转的角度。）

所以可以求出旋转矩阵为：T旋转=⎡⎣⎢cosθsinθ0−sinθcosθ0001⎤⎦⎥

顺时针旋转-90度后为： 

3. 以原点为中心，缩放因子为2缩放图形：

缩放变换矩阵为：⎡⎣⎢m000n0001⎤⎦⎥； 
矩阵中的m和n分别是x轴和y轴方向的缩放因子。

所以可以求出旋转矩阵为：T缩放=⎡⎣⎢200020001⎤⎦⎥

缩放后的图形变化为： 

4. 将图形反向平移（平移向量为OM，第一步的反向平移）：

平移变换矩阵为：⎡⎣⎢10a01b001⎤⎦⎥； 
矩阵中的ab表示平移向量(a,b)。

点M(3,-1)，原点O(0,0)，所以平移向量为：OM→=(3−0,(−1)−0)=(3,−1)

根据平移向量OM→可以求得到平移矩阵为：T平移=⎡⎣⎢10301−1001⎤⎦⎥ 
平移OM→后为： 

结果：

P’= P · T平移·T旋转·T缩放·T平移

=⎛⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜−1033321−1−1−110000⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎛⎝⎜10−3011001⎞⎠⎟⎛⎝⎜cosθsinθ0−sinθcosθ0001⎞⎠⎟⎛⎝⎜200020001⎞⎠⎟⎛⎝⎜10301−1001⎞⎠⎟=⎛⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜913119773−13111111⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟

 
新图形的顶点坐标依次是A′(9,7), B′(13,3), C′(11,-1), D′(9,3), E′(7,1)

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最后：

这篇文章中的内容都是我从一个视频中截图来的，费这么大劲主要是为了方便以后回顾和复习。 
原视频地址如下：http://v.baidu.com/watch/8701412763189445726.html

另外推荐两位大神的文章： 
矩阵在Android的应用（爱哥）：http://blog.csdn.net/aigestudio/article/details/41799811 
矩阵在Unity中的应用（墨半成霜）：http://blog.csdn.net/mobanchengshuang/article/details/41552557