【逻辑推理】 跑道赛跑决名次 & 二分图

# 25个人, 每5人1个跑道, 最少经过几次赛跑, 得到前3名 #

今天突然看到别人的博客中说到这个问题，然后觉得挺有趣的，就仔细想了想，由于身边没有纸笔恼火了5分多钟，最终终于想到了最终的答案，特记录于此，答案为7次。

*具体如下：

5》 25个人分为五组进行比赛，决出每组的第一名

6》 用这五个第一名进行一次比赛，依照顺序称呼为A、B、C、D、E

7》 由于需要前三名，所以D、E所在的组已经没有意义了（他们组的人都比他们慢），

B、C 与 A所在组的第二名第三名（可能A所在组的前三名就是25人中的前三名），

再加上B所在组的第二名（可能为A、B + B组第二），五人进行比赛，决出的前两个即为25人中的第二与第三。

答毕，综上所述，共为7次。

# 微信用户都是双向的好友，a是b的好友，那么b一定是a的。给定一个用户列表，有些用户是好友，有些不是 #

# 请判断，这些用户是否可以划分为两组，每组内的用 户，互相都不是好友。如果能，请给出这个划分 #

然而同一篇博文下又看到了这个，顺手也放在这里写下

很明显：【二分图】

无向图G为二分图的充分必要条件是，G至少有两个顶点，且其所有回路的长度均为偶数。

对于这一点，网络上的证明如下：

证先证必要性。

设G为二分图<X，E，Y>。由于X，Y非空，故G至少有两个顶点。若C为G中任一回路，令

C = (v0,v 1,v2，…，v l-1,v l = v0)

其中诸vi (i = 0,1，…，l）必定相间出现于X及Y中，不妨设

{v0,v2,v4，…，v l = v0} &Iacute; X

{v1,v3,v5，…，v l-1} &Iacute; Y

因此l必为偶数，从而C中有偶数条边。

再证充分性。

设G的所有回路具有偶数长度，并设G为连通图（不失一般性，若G不连通，则可对G的各连通分支作下述讨论）。

令G的顶点集为V，边集为E，现构作X，Y，使<X，E，Y> = G。取v0&Icirc;V，置

X = {v | v= v0或v到v0有偶数长度的通路}

Y = V-X

X显然非空。现需证Y非空，且没有任何边的两个端点都在X中或都在Y中。

由于|V|≥2并且G为一连通图，因此v0必定有相邻顶点，设为v1，那么v1&Icirc;Y；故Y不空。

设有边（u,v），使u&Icirc;X，v&Icirc;X。那么，v0到u有偶数长度的通路，或u = v0；v0到v有偶数长度的通路，或v = v0。无论何种情况，均有一条从v0到v0的奇数长度的闭路径，因而有从v0到v0的奇数长度的回路（因从闭路径上可能删去的回路长度总为偶数），与题设矛盾。故不可能有边（u,v）使u,v均在X中。

P.S. 对于二分图匹配，有个比较常用且容易理解的算法叫做匈牙利算法。