Bell数

Bell数
1. 定义：
第n个Bell数表示集合{1,2,3,...,n}的划分方案数，即：B[0] = 1;

2. 其指数生成函数：
sigma(n=0~inf,B[n]/n! * x^n) = e^(e^x - 1)

3. 性质：
(1) Bell数与第二类Stiring数的关系：
B[n] = sigma(k=1~n,S(n,k)) , S()表示S第二类tiring数
第二类Stirling数的意义是：S(n,k)表示将n个物体划分成k个非空的不可辨别的（可以理解为盒子没有编号）集合的方法数。

(2) Bell三角形(构建方法类似于杨辉三角形)
Bell三角形的构造方法：
第一行第一个元素是1，即a[1][1] = 1
对于n>1，第n行第一项等于第n-1行最后一项，即a[n][1] = a[n-1][n-1];
对于m,n>1，第n行第m项等于它左边和左上方的两个数之和，即a[n][m] = a[n][m-1] + a[n-1][m-1];

(3) Bell数的同余性质：
(B[n] + B[n+1]) % p = B[p+n] % p , 其中p为任意质数
(mB[n] + B[n+1]) % p = B[p^m + n] % p , 其中p为任意质数

(4) Bell数模素数p的周期为：
N[p] = (p^p - 1) / (p - 1)

4. Bell数预处理

LL T[55],B[55];void get_bell(int n,int mod){    B[0]=1;    B[1]=1;    T[0]=1;    for(int i=2;i<=n;++i){        T[i-1]=B[i-1];        for(int j=i-2;j>=0;--j)            T[j]=(T[j]+T[j+1])%mod;        B[i]=T[0];    }}

5. 利用同余性质求大Bell数的模值(注意：要预处理mod内的所有bell数)

//求B[n]%mod//要先预处理前50项Bell数，当然可以更多//vis每次调用前都要清空map<int,LL> vis;LL bell_mod(int n,int mod){LL ret=vis[n];if(ret) return ret;if(n<=50) return B[n];//改LL k=0;LL P=1;while(P<n){P=P*mod;++k;}P/=mod;--k;return vis[n]=(k*bell_mod(n-P,mod)+bell_mod(n-P+1,mod))%mod;}