polya|burnside定理的一些总结

基于正方形的置换：(hdu 1812)
旋转只有 0，90，180，270度三种旋法。
旋0度，则置换的轮换数为n*n
旋90度，n为偶数时，则置换的轮换数为n*n/4，n为奇数，则置换的轮换数为(n*n-1)/4+1
旋180度，n为偶数时，则置换的轮换数为n*n/2，n为奇数，则置换的轮换数为(n*n-1)/2+1
旋270度，n为偶数时，则置换的轮换数为n*n/4，n为奇数，则置换的轮换数为(n*n-1)/4+1


基于环形的置换：(hdu 3923)
一个由n个点组成的环
旋转有n中置换：
对于每种置换轮换数为：gcd(n,i)
翻转（对称）：
奇数时只有一种置换：
一个顶点和一条边的中点连线为轴（n个）
偶数时分成两大类置换：
1、边和边的中点连线为轴（n/2个)
2、点和点的连线为轴(n/2个)


基于正方题的置换：(uva 10601)
1、自身不变。循环节12个，长度1
2、根据定点连线为轴旋转120度、240度。循环节4个，长度3
3、根据对面的中心连线为轴旋转90、180、270度。90、270循环节个数3，长度4。180循环节个数6，长度2
4、根据对边的中心连线为轴旋转180度。循环节个数7个，5个长度2,2个长度1，这里要暴力枚举长度为1的循环节涂什么颜色。

问题普遍是分为三类基础问题

1、小数据（n小）
2、大数据（n大）
3、小数据+染色限定（颜色种类c小）

4、超大数据+染色限定（颜色种类c大）

1、小数据解法
一般这样的题目都是完全裸的polya，只要判断出循环节个数基本就解决了问题。
这类题目有两个小类，一个是颜色不限，一个是限定颜色用的个数。
对于第一类用polya直接可以搞定（poj 1286 2409）

对于第二类需要用burnside引理，主要精力是计算每种置换不动点的个数（uva 11255）

2、大数据解法（poj 2154）

这类一般是出现在环的换装置换上，我们知道环的置换有n类置换，枚举这n类置换是不可能的但是我们可以枚举gcd(n,i)=k，也就是枚举循环节的个数，然后判断有多少这种i，这里用到数论，通过欧拉函数后者容斥定理来计算。

3、大数据+染色限定（poj 2888）

这种对于某个循环节为k的置换要计算满足的i个数，因为有颜色限定所以不能直接搞，可以考虑用关系矩阵存某两种颜色是否可以相邻，然后k次幂得到循环节数k对应染色方案数，答案就在矩阵的对角线上。

4、大数据+染色限定（hdu 2865）
基于上面的基础，对于颜色种类超大的情况无法用矩阵存，那么考虑用dp，dp[i][0],dp[i][1]，基于k长循环节的置换上，枚举第一个点的颜色比如是c，1表示第i个位置染了c颜色，0表示第i位置没染c颜色，最后dp[k][0]就是答案。应为k很大所以用矩阵乘法来解这个递推式


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