Polya定理，burnside引理

burnside引理

  

设G={a1,a2,…ag}是目标集[1,n]上的置换群。每个置换都写成不相交循环的乘积。

  

是在置换ak的作用下不动点的个数，也就是长度为1的循环的个数。通过上述置换的变换操作后可以相等的元素属于同一个等价类。若G将[1,n]划分成l个等价类，则：

等价类个数为：

 

例1：一正方形分成4格，2着色，有多少种方案？其中，经过转动相同的图象算同一方案。

解：每个格子一共有两种颜色可以选择，所以共有右图16中图像。

对图中图像的置换可以分为以下四种：

不动：a1=(1)(2)…(16)

逆时针转90度 ：a2=(1)(2)(3 4 5 6)(7 8 9 10) (11 12)(13 14 15 16)

顺时针转90度 ：a3=(1)(2)(6 5 4 3)(10 9 8 7)(11 12)(16 15 14 13)

转180度：a4=(1)(2)(3 5)(4 6)(7 9)(8 10)(11)(12) (13 15)(14 16)

由Burnside引理，共有(16+2+2+4)/4=6(种方案)

由例子可见，Burnside引理是针对图像集的转动群来求解，当多种颜色(N>2)着色时，理论上可以用Burnside来求解，但是极其复杂，此时一般通过Pólya定理求解。

例2 ：用六种颜色给立方体的六个面着色，每面颜色不同，并且当一个着色的立方体经转动可得到另一个时，就认为二者相同。问有多少种着色方案？

解：使用六种颜色对立方体的面染色，通过旋转得到的情形视为同一种方案，最终染

色方式总数可以由这个公式确定。

分别选取面心-面心、立方体对角线、棱中-棱中3类共12条轴进行旋转

旋转情况置换个数不动点个数不动1×16！面心-面心旋转±90°3×20面心-面心旋转180°3×10棱中-棱中旋转6×10立方体对角线旋转±120°4×20

从而有 30 种旋转不同的立方体 六色染色方式。一般地，使用n种颜色，应当使用Pólya定理求解，此时立方体不同的旋转面染色数是:

Polya定理

设

  

是n个对象的一个置换群, 用m种颜色染图这n个对象，则不同的染色方案数为：

其中

  

，

  

为

  

的循环节数

解题主要在于写出置换群， 明确置换群的个数，每个置换群的循环节数

比如正四面体：

应用（正多面体的刚体旋转问题）

甲烷CH4的支链结构为正四面体，若4个H键用H,CL,CH3，C2H5之一取代，问有几种不同的化学结构？

解：

问题相当于对正四面体的4个顶点用4种颜色着色，求不同的方案数目，使正四面体v1，v2，v3，v4重合的刚体运动有两类，一类是绕过顶点的中心线XX'旋转120度，240度；另一类是绕过v1v2，v3v4中点的连线yy’旋转180度，如下图旋转群G的元素为：

(v1)(v2)(v3)(v4)，(v1)(v2v3v4)，(v1)(v4v3v2)，(v2)(v1v3v4)，

(v2)(v4v3v1)，(v3)(v1v2v4)，(v3)(v4v2v1)，(v4)(v1v2v3)，

(v4)(v3v2v1)，(v1v2)(v3v4)，(v1v3)(v2v4)，(v1v4)(v2v3)，

故不同的化学结构数目为：

      来源于百度百科

需要对几何体的旋转，反转有基础认识