2.2 分治法的基本思想

分治法的基本思想是将一个规模为n的问题分解为k个规模较小的子问题，这些子问题相互独立且与原问题相同。递归的解这些子问题，然后将各子问题的解合并得到原问题的解。

它的一般的算法设计模式如下：

　　Divide-and-Conquer(P)　　1. if |P|≤n0　　2. then return(ADHOC(P))　　3. 将P分解为较小的子问题 P1 ,P2 ,...,Pk　　4. for i←1 to k　　5. do yi ← Divide-and-Conquer(Pi) △ 递归解决Pi　　6. T ← MERGE(y1,y2,...,yk) △ 合并子问题　　7. return(T)

其中|P|表示问题P的规模；n0为一阈值，表示当问题P的规模不超过n0时，问题已容易直接解出，不必再继续分解。ADHOC(P)是该分治法中的基本子算法，用于直接解小规模的问题P。因此，当P的规模不超过n0时直接用算法ADHOC(P)求解。算法MERGE(y1,y2,…,yk)是该分治法中的合并子算法，用于将P的子问题P1 ,P2 ,…,Pk的相应的解y1,y2,…,yk合并为P的解。
子问题的划分：人们从大量实践中发现，在用分治法设计算法时，最好使子问题的规模大致相同。换句话说，将一个问题分成大小相等的k个子问题的处理方法是行之有效的。许多问题可以取 k = 2。这种使子问题规模大致相等的做法是出自一种平衡(balancing)子问题的思想，它几乎总是比子问题规模不等的做法要好。
分治范式在每一层递归包括3个步骤：

• 分解 将问题分解成若干个子问题。
• 治理 递归地解决各子问题。不过若子问题的规模足够小，就以直接的方式（不再递归）解决子问题。

• 合并 将子问题的解合并成原问题的一个解。

  递归是分治策略的基础。

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