XDU 易碎的鸟蛋（鹰蛋实验） Dp问题

题目链接：http://acm.xidian.edu.cn/problem.php?id=1007

题意：给定鸟蛋的数目和楼层数，确定鸟蛋的硬度。

这应该是一个比较经典的Dp了，看了别人朱晨光的论文，也就只能写个N^2 long N的算法了。

朱晨光论文链接

这篇文章让我懂了 log N的意思：鹰蛋实验

自己的理解：首先题目给定的有两个变量，我们可以很容想到一个式子：dp[i][j]，但是，该如何对这个式子进行状态定义呢？用dp[i][j]表示：用i个鸟蛋进行楼层数为j（实际上楼层的最高层也就是j层了）的实验所需要的最多次数（就是题目要求的）。那么状态转移是怎样的呢？显然，第j层已经是最上面的那层了，那么在进行第j层实验之前，肯定会由下面的某个层转移得到，到底是那个层，我们并不确定，那么，我们就枚举j前面的每一个层就行了，假设其中一个楼层为w（w<=j），则用两种情况：

一：从第w层丢下去的鸟蛋破了，则dp[i][j]只能由w层下面的层数来决定：鸟蛋数为i-1，楼层数为w-1的实验来决定，这就是一个子问题了。

二：从第w层丢下去的鸟蛋没有破，则dp[i][j]只能由w层上边的层数来决定了，也就是：鸟蛋数为i，楼层数为j-w的实验决定，这又是一个子问题。

所以可以得到一个状态转移方程：

dp[i][j]=min(max{dp[i-1][w-1],dp[i][j-w]}+1,dp[i][j])

仔细一看，这里需要枚举单个变量i,j,w，时间复杂度达到了O（N^3）。下面就是对其简单优化的思想：

首先假设我们有无穷多个鸟蛋，进行楼层数为N的实验，显然不管结果如何（0,1,2......N)，我们都可以通过模拟二分查找得到（因为鸟蛋无数个），所以最多需要log N次左右，这里N最大为1000，即：log 1000=9.几，所以最多需要10次，也就是10个鸟蛋即可通过二分查找找到所有情况的解。也就是说，只要鸟蛋达到了10个，就可以完全模拟二分查找了。这不知不觉就把鸟蛋数从1000降到了10，这复杂度降的可不少啊，O(N)-->O(log N)。最后的时间复杂度为：O(10^7)，打表一次就够了。

代码：

#include<iostream>#include<cstdio>#include<algorithm>#define maxn 1010#define INF 0x7fffffffusing namespace std;int dp[maxn][maxn];//如分析所述int n,k;int main(){    for(int i=0;i<=1000;i++) for(int j=0;j<=1000;j++) dp[i][j]=INF;//初始化    for(int i=0;i<maxn;i++) dp[1][i]=i;//初始化    for(int i=0;i<maxn;i++) dp[i][0]=0;//初始化    for(int i=2;i<=10;i++)//log N 级别        for(int j=1;j<=1000;j++)            for(int w=1;w<=j;w++)                dp[i][j]=min(max(dp[i-1][w-1],dp[i][j-w])+1,dp[i][j]);    while(scanf("%d %d",&n,&k)==2){        if(n>10) n=10;        printf("%d\n",dp[n][k]);    }    return 0;}