【动态规划】凸多边形最优三角剖分



经典dp问题

 1、问题相关定义：

     (1)凸多边形的三角剖分：将凸多边形分割成互不相交的三角形的弦的集合T。

    (2)最优剖分：给定凸多边形P，以及定义在由多边形的边和弦组成的三角形上的权函数w。要求确定该凸多边形的三角剖分，使得该三角剖分中诸三角形上权之和为最小。

     凸多边形三角剖分如下图所示：

          2、最优子结构性质：

     若凸(n+1)边形P={V0,V1……Vn}的最优三角剖分T包含三角形V0VkVn,1<=k<=n，则T的权为三个部分权之和：三角形V0VkVn的权，多边形{V0,V1……Vk}的权和多边形{Vk,Vk+1……Vn}的权之和。如下图所示：

          可以断言，由T确定的这两个子多边形的三角剖分也是最优的。因为若有{V0,V1……Vk}和{V0,V1……Vk}更小权的三角剖分，将导致T不是最优三角剖分的矛盾。因此，凸多边形的三角剖分问题具有最优子结构性质。

         3、递推关系：

     设t[i][j],1<=i<j<=n为凸多边形{Vi-1,Vi……Vj}的最优三角剖分所对应的权值函数值，即其最优值。最优剖分包含三角形Vi-1VkVj的权，子多边形{Vi-1,Vi……Vk}的权，子多边形{Vk，Vk+1……Vj}的权之和。

      因此，可得递推关系式：

     凸(n+1)边形P的最优权值为t[1][n]。

     

<em>//3d5 凸多边形最优三角剖分#include "stdafx.h"#include <iostream> using namespace std; const int N = 7;//凸多边形边数+1int weight[][N] = {{0,2,2,3,1,4},{2,0,1,5,2,3},{2,1,0,2,1,4},{3,5,2,0,6,2},{1,2,1,6,0,1},{4,3,4,2,1,0}};//凸多边形的权int MinWeightTriangulation(int n,int **t,int **s);void Traceback(int i,int j,int **s);//构造最优解int Weight(int a,int b,int c);//权函数int main(){int **s = new int *[N];      int **t = new int *[N];      for(int i=0;i<N;i++)        {            s[i] = new int[N];          t[i] = new int[N];      } cout<<"此多边形的最优三角剖分值为："<<MinWeightTriangulation(N-1,t,s)<<endl;      cout<<"最优三角剖分结构为："<<endl;      Traceback(1,5,s); //s[i][j]记录了Vi-1和Vj构成三角形的第3个顶点的位置return 0;}int MinWeightTriangulation(int n,int **t,int **s){for(int i=1; i<=n; i++){t[i][i] = 0;}for(int r=2; r<=n; r++) //r为当前计算的链长（子问题规模）  {for(int i=1; i<=n-r+1; i++)//n-r+1为最后一个r链的前边界  {int j = i+r-1;//计算前边界为r，链长为r的链的后边界  t[i][j] = t[i+1][j] + Weight(i-1,i,j);//将链ij划分为A(i) * ( A[i+1:j] )这里实际上就是k=is[i][j] = i;for(int k=i+1; k<j; k++){//将链ij划分为( A[i:k] )* (A[k+1:j])   int u = t[i][k] + t[k+1][j] + Weight(i-1,k,j);if(u<t[i][j]){t[i][j] = u;s[i][j] = k;}}}}return t[1][N-2];}void Traceback(int i,int j,int **s){if(i==j) return;Traceback(i,s[i][j],s);Traceback(s[i][j]+1,j,s);cout<<"三角剖分顶点：V"<<i-1<<",V"<<j<<",V"<<s[i][j]<<endl;}int Weight(int a,int b,int c){ return weight[a][b] + weight[b][c] + weight[a][c];}</em>

程序输入如下所示：