动态规划--凸多边形最优三角剖分

来源：互联网发布：js 边历对象树编辑：程序博客网时间：2024/05/01 20:59

算法设计与实现王晓东

题目描述：

用多边形顶点的逆时针序列表示凸多边形，即P={v0,v1,…,vn-1}表示具有n条边的凸多边形。

　　给定凸多边形P，以及定义在由多边形的边和弦组成的三角形上的权函数w。要求确定该凸多边形的三角剖分，使得即该三角剖分中诸三角形上权之和为最小。

解题思路：

　　若凸(n+1)边形P={v0,v1,…,vn-1}的最优三角剖分T包含三角形v0vkvn，1≤k≤n-1，则T的权为3个部分权的和：三角形v0vkvn的权，子多边形{v0,v1,…,vk}和{vk,vk+1,…,vn}的权之和。可以断言，由T所确定的这2个子多边形的三角剖分也是最优的。因为若有{v0,v1,…,vk}或{vk,vk+1,…,vn}的更小权的三角剖分将导致T不是最优三角剖分的矛盾。

　　那么我们定义一个t[i][j]，1<=i<=j<=N,为凸子多边形{vi-1,vi,…,vj}的最优三角剖分所对应的权函数值，即其最优值。据此定义，要计算的凸(n+1)边形P的最优权值为t[1][n]。

　　t[i][j]的值可以利用最优子结构性质递归地计算。当j-i≥1时，凸子多边形至少有3个顶点。由最优子结构性质，t[i][j]的值应为t[i][k]的值加上t[k+1][j]的值，再加上三角形vi-1vkvj的权值，其中i≤k≤j-1。由于在计算时还不知道k的确切位置，而k的所有可能位置只有j-i个，因此可以在这j-i个位置中选出使t[i][j]值达到最小的位置。由此，t[i][j]可递归地定义为：

对于要求的t[1][n]，可以用通过由下至上的，从链长（多边形的边）为2开始计算，每次求t[i][j]的最小值，并且记录最小值所对应的K值，根据最优子结构的性质，逐步向上就可以求出t[1][n]的最小值。

类似的，求三角划分顶点的乘积的最小值问题，也是一样的。

//3d5 凸多边形最优三角剖分
#include "stdafx.h"
#include <iostream>
using namespace std;
const int N = 7;//凸多边形边数+1
int weight[][N] = {{0,2,2,3,1,4},{2,0,1,5,2,3},{2,1,0,2,1,4},{3,5,2,0,6,2},{1,2,1,6,0,1},{4,3,4,2,1,0}};//凸多边形的权
int MinWeightTriangulation(int n,int **t,int **s);
void Traceback(int i,int j,int **s);//构造最优解
int Weight(int a,int b,int c);//权函数
int main()
{
int **s = new int *[N];
int **t = new int *[N];
for(int i=0;i<N;i++)
{
s[i] = new int[N];
t[i] = new int[N];
}
cout<<"此多边形的最优三角剖分值为："<<MinWeightTriangulation(N-1,t,s)<<endl;
cout<<"最优三角剖分结构为："<<endl;
Traceback(1,5,s); //s[i][j]记录了Vi-1和Vj构成三角形的第3个顶点的位置
return 0;
}
int MinWeightTriangulation(int n,int **t,int **s)
{
for(int i=1; i<=n; i++)
{
t[i][i] = 0;
}
for(int r=2; r<=n; r++) //r为当前计算的链长（子问题规模）
{
for(int i=1; i<=n-r+1; i++)//n-r+1为最后一个r链的前边界
{
int j = i+r-1;//计算前边界为r，链长为r的链的后边界
t[i][j] = t[i+1][j] + Weight(i-1,i,j);//将链ij划分为A(i) * ( A[i+1:j] )这里实际上就是k=i
s[i][j] = i;
for(int k=i+1; k<j; k++)
{
//将链ij划分为( A[i:k] )* (A[k+1:j])
int u = t[i][k] + t[k+1][j] + Weight(i-1,k,j);
if(u<t[i][j])
{
t[i][j] = u;
s[i][j] = k;
}
}
}
}
return t[1][N-2];
}
void Traceback(int i,int j,int **s)
{
if(i==j) return;
Traceback(i,s[i][j],s);
Traceback(s[i][j]+1,j,s);
cout<<"三角剖分顶点：V"<<i-1<<",V"<<j<<",V"<<s[i][j]<<endl;
}
int Weight(int a,int b,int c)
{
return weight[a][b] + weight[b][c] + weight[a][c];
}

程序输入如下所示：

运行结果如图：

0 0