hznu 1524 排队买票（dp）【类卡特兰构造模板】

有M个小孩到公园玩，门票是1元。其中N个小孩带的钱为1元，K个小孩带的钱为2元。售票员没有零钱，问这些小孩共有多少种排队方法，使得售票员总能找得开零钱。注意：两个拿一元零钱的小孩，他们的位置互换，也算是一种新的排法。（M<=10）

输入

输入一行，M,N,K(其中M=N+K,M<=10)。

输出

输出一行，总的排队方案。

样例输入

4 2 2

样例输出

8

http://hsacm.cn/JudgeOnline/problem.php?id=1524

#include<iostream>#include<algorithm>#include<string>#include<map><span style="color:#0000cd;"><strong></strong></span>#include<vector>#include<cmath>#include<string.h>#include<stdlib.h>#include<cstdio>#define ll long longusing namespace std;int main(){    int m,n,k;    cin>>m>>n>>k;    if(n<k)        cout<<0<<endl; //2元小朋友比1元小朋友多     else{    int s1=1;    for(int i=1;i<=k;++i) //2元的小朋友内部全排列         s1*=i;   int s2=1;    for(int i=1;i<=n;++i) //1元的小朋友内部全排列         s2*=i;    int dp[20][20]={0};    dp[1][0]=1;    dp[1][1]=1;    for(int i=2;i<=n;++i){        for(int j=0;j<=i;++j){            for(int g=0;g<=j;++g){                dp[i][j]+=dp[i-1][g];}}} //由i个1元小朋友和j个2元小朋友组成的队伍排法     cout<<dp[n][k]*s2*s1<<endl;}    return 0;}

#include<iostream>  #include<algorithm>  #include<map>//ll dx[4]={0,0,-1,1};ll dy[4]={-1,1,0,0};  #include<set>//  #include<vector>  #include<cmath>  #include<stack>  #include<string.h>  #include<stdlib.h>  #include<cstdio>   #include<string>  #define mod 1000000007#define eps 1e-6#define lowbit(x) (x) & (-x) using namespace std;int main(){int m,n,k;      cin>>m>>n>>k; int dp[20][20]={0};  dp[0][0]=1;for(int i=1;i<=m;++i){for(int j=0;j<=i;++j){if(j>0)dp[i][j]+=dp[i-1][j-1];dp[i][j]+=dp[i-1][j+1];}}     if(n<k){        cout<<0<<endl; //2元小朋友比1元小朋友多           return 0;    }int s1=1;      for(int i=1;i<=k;++i) //2元的小朋友内部全排列           s1*=i;      int s2=1;      for(int i=1;i<=n;++i) //1元的小朋友内部全排列           s2*=i;     cout<<dp[m][abs(n-k)]*s2*s1<<endl;      } 

二维略难懂。

卡特兰数（适用类似本题的n==k情况，仅限于n==k）：

①1的出现前边必须有一个相应的0对应，所以从左到右的所有序列中0的个数要一直大于1的个数。那这种数列有多少种排列方式呢？

②我们可以把0看成入栈操作，1看成出栈操作，即0的累计个数不小于1的排列有多少种。
卡特兰数的通项是c(2n, n)/(n+1)。

令h(1)＝1,h(0)=1，数满足递归式：    h(n)= h(0)*h(n-1)+h(1)*h(n-2) + ... +h(n-1)h(0) (其中n>=2) 

或：h(n)=h(n-1)*(4*n-2)/(n+1);    该递推关系的解为：   

h(n)=C(2n,n)/(n+1) (n=1,2,3,...)

还有一个纯数学的解法：

向左走向右走5元的则往左走一步，10元的则往右走一步，要求：不能走到原点的右面 !这些人中有m个仅有5元的纸币，其余n人仅有10元纸币(n<=m)．那么，C(M+N,M)就是在第M次向左走向右走的时候的全部走法；不管前面如何走，只要第M步的时候先往右边走，那么这就是一个错误的走法，所以1×C(M+N,M-1)就是在第M次向左走向右走的时候的全部错误走法；二者之差就是正确走法＝C(M+N,M)－1×C(M+N,M-1)

C(m下,n上)=m!/(n!*(m-n)!)

#include<stdio.h>#include<math.h>int main(){    int m,n,k,i,s=1,t=1,q=1,p=1,q1=1,t1=1;    scanf("%d %d %d",&m,&n,&k);    for(i=1;i<=m;i++)    {        s=s*i;    }    for(i=1;i<=n;i++)    {        t=t*i;    }    for(i=1;i<=m-n;i++)    {        q=q*i;    }    for(i=1;i<=m-n-1;i++)    {        q1=q1*i;    }    for(i=1;i<=n+1;i++)    {        t1=t1*i;    }    printf("%d\n",(s/(q*t)-s/(q1*t1))*t*q);}