《算法导论》学习笔记——最长公共子序列（动态规划）

最长公共子序列（LongestCommonSubsequence Problem;LCS）

问题描述

给定两个序列X=x1,x2,x3...,xm和Y=y1,y2,y3,...,yn，求X和Y的最长公共子序列。

例子：X=A,B,C,B,D,A,B，y=B,D,C,A,B,A,最长公共子序列为B,C,B,A。

注意：最长公共字串（LongestCommonSubstring）要求元素必须连续，最长公共子序列不要求，只要求子序列前后顺序不变。

问题意义：一种衡量两个序列“相似度”的方法，最长公共子序列越长，两者相似度越高。
补充：其他衡量两个序列/串相似度的方法：
1.如果，将一个串转换成另一个串的所需的操作步骤很少，那么两者是相似的；（《编程之美》字符串距离；《算法导论》15-5编辑距离）
2.如果一个串为另一个串的子串，那么两者是相似的。（字符串匹配）

解题思路

1.暴力破解法：X的子序列共有2^m种，对于每一种X的子序列判断是否为Y的子集，Y的子序列有2^m种，需要指数级别的时间复杂度O(2^(m+n))。
2.动态规划法，时间复杂度O(m*n)。

动态规划

1.刻画LCS最优解的结构特征

定义：X=x1,x2,x3...,xm的第i个前缀为Xi=x1,x2,x3...,xi (i<=m,i=0的Xi为空串)
令X=x1,x2,x3...,xm和Y=y1,y2,y3,...,yn为两个序列，Z=z1,z2,z3,...,zk为X和Y的任意LCS。
LCS的最优子结构：
1.如果xm=yn，则zk=xm=yn且Zk−1是Xm−1和Yn−1的一个LCS。
2.如果xm≠yn，那么zk≠xm意味着Z是Xm−1和Y的一个LCS。
3.如果xm≠yn，那么zk≠yn意味着Z是X和Yn−1的一个LCS。

2.一个递归的求解方案

设计LCS的算法首先要建立最优解的递归式。我们定义c[i,j]表示Xi和Yj的LCS的长度，根据LCS问题的最优子结构性质，可得到如下公式：
c[i,j]=0,若i=0或j=0
c[i,j]=c[i−1,j−1]+1,若i,j>0且xi=yj
c[i,j]=max(c[i−1,j],c[i,j−1]),若i,j>0且xi≠yj

3.计算最优代价

LCS问题只有O(m*n)个不同的子问题，可以用自底向上的动态规划算法实现。
表b用于构造最优解，表c用于用于记录LCS长度，伪代码如下：

LCS-LENGTH(X,Y)m = X.lengthn = Y.lengthlet b[1...m,1..n] and c[0...m,0...n] be new tablesfor i = 1 to m  c[i,0] = 0for i = 1 to n  c[0,i] = 0for i = 1 to m  for j = 1 to n    if xi = yj      c[i,j] = c[i-1,j-1] + 1      b[i,j] = '↖'    elseif c[i-1,j] >= c[i,j-1]      c[i,j] = c[i-1,j]      b[i,j] = '↑'    else      c[i,j] = c[i,j-1]      b[i,j] = '←'return b and c

4.构造最优解

利用表b构造出最优解，起始调用为PRINT-LCS(b,X,X.length,Y.length)
伪代码如下：

PRINT-LCS(b,X,i,j)if i == 0 or j == 0  returnelseif b[i,j] == '↖'  PRINT-LCS(b,X,i-1,j-1)  print xielseif b[i,j] == '↑'  PRINT-LCS(b,X,i-1,j)else  PRINT-LCS(b,X,i,j-1)

优化

1.去除表b，只利用c重构出LCS的元素。
2.如果只计算LCS的长度，不需重构LCS中的元素，那么c表只需要两行就可以了，空间需求减少为O(min(m,n))。