动态规划学习笔记2（最长公共子序列）

    最长公共子序列（LCS）是衡量两个序列的相似度的一种方式，其形式化定义可见《Introduction to Algorithms》Page 209。

    注意到子序列和子串的区别，子序列中的元素在原序列中可以使不连续的，亦即，对于任意序列(x1,x2,x3......xm),可选择每一个元素是否在其子序列中，从而共有2的m次方个子序列，因为对于任一元素xi（0<i<m+1）,要么在其子序列中，要么不在。

    对给出的两个序列，(x1,x2,x3......xm)，(y1,y2,y3......yn),求两者LCS。

    1、 显然的算法：

            对序列(x1,x2,x3......xm)的任意子序列，检验他是否为(y1,y2,y3......yn)的子序列，然后取最长即为所求。

           时间分析：

                    有前面可知，求(x1,x2,x3......xm)的所有子序列的时间复杂度是O(2^m)，检测每一个子序列是否为(y1,y2,y3......yn)的子序列的时间复杂度是O(N)，所以总的时间复杂度是             O(N2^m),显然这个代价太大了。

    2、动态规划算法：

             上一篇文章中提到，动态规划解题的关键在于找到最优子结构和重叠子问题。

              LCS问题的最优子结构：

              对于Xm=(x1,x2,x3......xm)和Yn=(y1,y2,y3......yn)，从后向前扫描，如果最后的元素xm=yn，那么zk=xm=yn肯定在最有子序列中，问题转化为求(x1,x2,x3......xm-1)和       

     (y1,y2,y3......yn-1)的LCS。

              当然如果Xm=Yn，则上面的条件一直成立，LCS即为(x1,x2,x3......xm)或(y1,y2,y3......yn)，问题的关键在于xm！=yn怎么办。

              如果xm！=yn，那么Xm和Yn的LCS，要么等于X(m-1)和Yn的LCS，要么等于Xm和Yn-1的LCS，确切的说，是等于两者之中较长的一个。

              如果令C[i,j]表示Xi和Yj的LCS的长度，那么该问题的最优子结构可以描述为：

              ·

               重叠子问题是显然的：c[i-1,j]和c[i,j-1]，都包含c[i-1,j-1]的求解过程，而c[i-1,j]和c[i,j-1]的结果，都可能用在c[i,j+1],c[i+1,j]的求解中，这个问题中的重叠子问题是比较多                  的。

              到这里，写出一个给予表结构的，自底向上的的动态规划已经水到渠成了。