加油站问题

问题描述

有一个环形轨道，上有若干加油站，一辆小车（初始时油箱为空，油箱容量无线）从某个加油站出发绕一圈，路上需要耗油，已知 加油站的总油量和路上需要消耗地油量一样多，问是否可以找到从一个加油站出发，小车可以正常绕一圈？

问题解析

其实上面的题与下面的题目类似：

有一个循环数组，{1, 2, -3, 4, -5, -8, 9}，问找出一个数，使得从该数出发，往右的所有子数组，比如 {2}, {2,-3}, {2, -3, 4}, {2, -3, 4, -5}, {2, -3, 4, -5, -8}, {2, -3, 4, -5, -8, 9}, {2, -3, 4, -5, -8, 9, 1} 每个子数组的和，都要 >= 0，即不为负。显然以2开始，是不行的，因为 {2, -3} 的和就是-1，已经不满足条件了。

问题解决1

构造如下一个双向链表，链表节点中第一个元素指示为index，第二个元素为对应的值：
{0,1} <-> {1, 2} <-> {2, -3} <-> {3, 4} <-> {4, -5} <-> {5, -8} <-> {6, 9}

顺序扫描，从头开始。找出第一个节点，其值小于0,。
找出的节点为 {2, -3}，那么 * 我们要找的答案必须不是以该元素开始的，因为它已经是-3了*，那么将 {2, -3} 和前一项 （{1, 2}）整合，新的节点为 {1, -3+2} 即 {1, -1}。整合后的节点的index值取整合前的前一项（{1,2}）的index值。
{0,1} <-> {1, -1} <-> {3, 4} <-> {4, -5} <-> {5, -8} <-> {6, 9}
现在发现 {1, -1} 还是-1，那么继续往前整合:
{0,0} <-> {3, 4} <-> {4, -5} <-> {5, -8} <-> {6, 9}

ok,现在可以开始考虑 {3,4}, 没问题，继续往下扫描。 遇到 {4, -5}节点时，又是-5，因此继续往前整合：
{0,0} <-> {3, -1} <-> {5, -8} <-> {6, 9}
{0,-1} <-> {5, -8} <-> {6, 9}
{5, -8} <-> {6, 8} // 将 {0,-1} 与循环数组的前一项（{6,9}）整合

此时剩下 {5, -8}，继续整合：
{6, 0}

剩下index就是6，因此对应的那个值即 9，就是我们需要的答案。
每个节点最多被扫描一次和删除一次。时间复杂度为 O(n)，空间复杂度为 O(n)。

问题解决2

上述方案中，空间复杂度还是有点高。因此需要更好的方法。
其实在上述方案中，隐藏着另一幅视角：

倘若 arr[0..k]为 arr[0..0] ~ arr[0..n-1] 之间的和首次为负数，那么 arr[0..k] 可以整合为一个负数来看待。因此此时 arr[k] 必定是一个必经大的负数，那么该负数可以一直往前整合，直到把 arr[0]也整合进来。整合之后的值依然为负数。

OK，在上述情况下继续讨论，此时可以继续直接从 arr[k+1]往下扫描。直到 arr[k+1 .. j] 为负数，此时这个区间的数可以整合成一个负数。

直到从 arr[i .. n-1] 这段区间为正数，而且该正数可以恰好cover掉之前整合后的若干负数。那么 i 就是我们所求的。 从 i 开始的n的长度递增的子数组，其和均为非负。

算法思想：

 sum <- 0for each i in 0 .. n-1    sum <- sum + arr[i]    if sum < 0 then         sum <- 0    else if i == n-1 then         return i    // 一定会有个i，是的该式子满足 且此时 sum > 0    i <- i+1

时间复杂度为O(n)，空间复杂度为O(1)