【小白话通信】连续分布的产生

由于篇幅有限，前一篇文章《离散分布的产生》中只讲述了用均匀分布产生离散分布的方法，那么本文接着讲如何利用均匀分布产生连续分布的方法。

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连续分布

连续分布主要有以下几种：均匀分布 伽马分布 正态分布 贝塔分布 柯西分布 对数正态分布 双指数分布。

产生各种连续分布的方法有很多，我把它分为两类：通用方法、特殊方法。特殊方法就是根据各个连续分布的特性而特有的方法。

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通用方法

通用方法指的是对于各种连续分布理论上都适用的方法。下面只讲解分布函数法、舍取法这两种通用的方法。

分布函数法

概率积分变换定理
设随机变量X有连续累计分布函数F(x)，令U=F(X)，则U服从(0,1)上的均匀分布。

由概率积分变换定理可知，如果知道一个连续分布函数的累计分布函数F(x)，则可以求得随机变量：X=F−1(U)，其中U服从0到1内的均匀分布。下面以指数分布来举例说明：
指数分布的累计分布函数F(x)可以表示为：

F(x)={1−e−λx,x≥00,x<0

由于U=F(X)服从(0,1)上的均匀分布，则随机变量：X=F−1(U)=−Ln(1−U)λ。因此只需要产生服从(0,1)上的均匀分布的U，就可以计算得到服从指数分布的随机变量X。

• 指数分布　

%指数分布%参数：到达率lambda%mean=1/lamda,  var=1/lambda^2clear allclose allclclambda=1;%指数分布的产生lambdan=10;%x的取值为0到无穷大，这里只取前n个%------------------------由内置函数直接给出-------------------------%%指数分布的产生，即事件发生的时间间隔x,x取值为0到正无穷X=exprnd(1/lambda);%产生1均值为1/lamda的指数分布%指数分布的cdfx=0:.1:n;Fx=expcdf(x,1/lambda);%figure%plot(x,Fx,'-')%title('指数分布的cdf')%指数分布的pdfx=0:.1:n;Px=exppdf(x,1/lambda);figureplot(x,Px,'r-')hold ontitle('指数分布的pdf')%-------------------------由均匀分布推导出（分布函数法）-------------------------%N=1000;%样本点数U=rand(1,N);%U服从均匀分布X2=-(log(1-U))/lambda;%X2服从指数分布，X2由分布函数法得到，对于不同的分布，分布函数不同，这里的表达式需作相应的改变！%下面的程序是绘制X2的概率密度函数pdfMax=ceil(max(X2));step=1;%步长range=0:step:Max;for i=1:length(range)-1    YY(i)=sum(range(i)<=X2&X2<=range(i+1))/N/step;%统计落在区间中的点数    XX(i)=(range(i)+range(i+1))/2;endplot(XX,YY,'bo')hold ontitle('指数分布的pdf')legend('内置函数产生','分布函数法产生')

结果显示如下：(指数参数λ=1的情况)

分布函数法的局限性：由于该方法的关键就是求出分布函数的反函数，从而得到随机变量X关于均匀分布随机变量U的表达式。然而有些分布是不容易求得其反函数的，例如我们常见的正态分布，其分布函数需要用其概率密度函数表示如下：

F(x)=1σ2π−−√∫x−∞e−(t−u)22σ2dt

其中，u和σ分布为均值和标准差。显然，当得知F(x)的取值时，也很难求得此时的x的值。因此，当出现上述问题时，我们可以采用舍去法。

舍去法

定理：设随机变量Y,V的概率密度函数分布为fY(y)、fV(v)，其中，fY(y)、fV(v)有相同的支撑集且

M=max{fY(y)/fV(v)}<+∞

按下列步骤可以生成随机变量Y服从概率密度为fY(y)的分布：
1. 生成独立的随机变量U,V，其中，U服从0到1的均匀分布,V服从概率密度函数为fV(v)的分布
2. 如果U<1MfY(V)/fV(V),则令Y=V，否则返回到步骤1。

下面以用舍去法生成正态分布来具体说明：假设我们要用舍取法生成标准正态分布，标准正态分布的概率密度函数如下所示：

• 确定V的分布
  由舍取法的步骤2可知，生成的正态分布变量Y的取值包含于随机变量V的取值中。因此，我们需要根据正态分布随机变量的取值范围，来选择V应该服从的分布！我们一般取V服从均匀分布（当然也可以取其他的分布，注意需要满足取值范围）。
  理论上，正态随机变量的取值在整个实数域中，因此V应该服从区间为实数域的均匀分布，显然这个均匀分布我们很难表示出来。但由上图可知，标准正态分布的取值基本在−5到5之间，因此我们只需要使得V服从区间在−5到5的均匀分布即可以很好的近似。

• 确定M的大小
  在公式M=max{fY(y)/fV(v)}中，fV(v)=110，max{fY(y)}=fY(0)=12π√。因此M=102π√

在确定了V的分布以及M的大小之后，便可以根据定理中步骤2的判决方法来生成服从指定分布的随机变量Y。具体的程序实现如下：

%-------------------正态分布-----------------------%%参数：均值mu，方差sigma2%mean=mu,  var=sigma2clear allclose allclcmu=0;sigma2=1;n=10;%x的取值为正负无穷大，%-------------------由内置函数直接给出----------------%%正态分布的产生XX=normrnd(mu,sqrt(sigma2));%产生均值mu，方差sigma2的正态分布%正态分布的cdfx=0:.1:n;Fx=normcdf(x,mu,sqrt(sigma2));% figure% plot(x,Fx,'-')% title('正态分布的cdf')%指数分布的pdfx=-5:.1:5;Px=normpdf(x,mu,sqrt(sigma2));figureplot(x,Px,'b-')hold on%------由舍选法推导出--------%N=100;A=-5;%A,B位均匀分布的取值区间B=5;i=1;while(i<=N)    U=unifrnd(0,1);%服从（0,1）的均匀分布    V=unifrnd(A,B);%服从（A,B）的均匀分布    M=1/sqrt(2*pi)*(B-A);%计算得到M    if(U<1/M*1/sqrt(2*pi*sigma2)*exp(-(V-mu)^2/2/sigma2));%由定理得到的公式来生成随机变量X2        X2(i)=V;%X2就是我们要生成的指定分布的随机变量        i=i+1;    end  end%下面的程序是计算通过舍去法生成的正态分布X2的pdfMax=ceil(max(X2));step=1;range=A:step:B;for i=1:length(range)-1    YY(i)=sum(range(i)<=X2&X2<=range(i+1))/N/step;    XX(i)=(range(i)+range(i+1))/2;endplot(XX,YY,'ro')hold ontitle('正态分布的pdf')legend('内部函数产生','舍取法产生')

结果显示如下：

注意：使用这种方法的时候必须使V服从合适的分布来保证M<+∞，如若找不到这样的分布，则可以参考Markov Chain Monte Carlo(MCMC)方法。

特殊方法

上述的两种通用方法基本上可以用均匀分布产生大多数连续分布，不过由于每种分布有着各自的特性，因此也可以通过特殊的方法来生成。下面以生成标准正态分布(正态分布性质表明：任何正态分布都可以由标准正态分布转化得到)为例：

中心极限定理法

中心极限定理是概率论中的一组定理。中心极限定理说明，大量相互独立的随机变量，其均值的分布以正态分布为极限。这组定理是数理统计学和误差分析的理论基础，指出了大量随机变量之和近似服从正态分布的条件。（摘自维基百科）
我们由中心极限定理可知，多个独立同分布的随机变量的和服从正态分布，而关于这个正态分布的均值和方差的确定，我们可以依据林德伯格－列维定理：
林德伯格－列维(Lindeberg-Levy)定理：
设随机变量X1,X2,⋯,Xn，且具有有限的数学期望E(Xi)=u,D(Xi)=σ2=0(i=1,2,⋯,n)。记X¯=1n∑i=1nXi,Y=X¯−uσ/n√，则limn→∞P(Y<z)=Φ(z)，其中Φ(z)是标准正态分布的分布函数。

在程序实现中，我利用10个相互独立的服从区间−5到5的均匀分布来生成标准正态分布Y。而由公式可知，区间0到1的均匀分布的均值为u=−5+52=0,σ2=(5−(−5))2/12=100/12.因此我们需要生成的服从标准正态的随机变量的表达式为：Y=X¯−0.5100/12√/n√。具体程序实现如下：

%-------------------正态分布-----------------------%%参数：均值mu，方差sigma2%mean=mu,  var=sigma2clear allclose allclcmu=0;sigma2=1;n=10;%x的取值为正负无穷大，%------------------由内置函数直接给出--------------%%正态分布的产生XX=normrnd(mu,sqrt(sigma2));%产生均值mu，方差sigma2的正态分布%正态分布的cdfx=0:.1:n;Fx=normcdf(x,mu,sqrt(sigma2));% figure% plot(x,Fx,'-')% title('正态分布的cdf')%指数分布的pdfx=-5:.1:5;Px=normpdf(x,mu,sqrt(sigma2));figureplot(x,Px,'b-')hold on%-------------------由中心极限定理推导出---------------------%N=1000;%样本点数A=-5;%A,B位均匀分布的取值区间B=5;for i=1:10U(i,1:N)=unifrnd(A,B,1,N);%U存储10个独立的服从均匀分布的随机变量endmeanX=mean(U);X2=(meanX-(A+B)/2)/sqrt((B-A)^2/12)*sqrt(10);%由林德伯格－列维定理的公式知X2服从正态分布mean(X2);%下面的程序是计算通过中心极限定理法生成的正态分布X2的pdfMax=ceil(max(X2));step=1;range=A:step:B;for i=1:length(range)-1    YY(i)=sum(range(i)<=X2&X2<=range(i+1))/N/step;    XX(i)=(range(i)+range(i+1))/2;endplot(XX,YY,'ro')hold ontitle('正态分布的pdf')legend('内部函数产生','中心极限定理法产生')

显示结果如下：

Box-Muller法

基本思想：假设U,V是两个相互独立的且服从区间在0到1的均匀分布，并且随机变量X,Y的表达式如下：

X=−2lnU−−−−−−√cos(2πV),Y=−2lnU−−−−−−√sin(2πV)

则X,Y是相互独立的，并且服从标准正态分布。

具体的程序实现如下：

%-------------------正态分布-----------------------%%参数：均值mu，方差sigma2%mean=mu,  var=sigma2clear allclose allclcmu=0;sigma2=1;n=10;%x的取值为正负无穷大，%--------------------由内置函数直接给出----------------------%%正态分布的产生XX=normrnd(mu,sqrt(sigma2));%产生均值mu，方差sigma2的正态分布%正态分布的cdfx=0:.1:n;Fx=normcdf(x,mu,sqrt(sigma2));% figure% plot(x,Fx,'-')% title('正态分布的cdf')%指数分布的pdfx=-5:.1:5;Px=normpdf(x,mu,sqrt(sigma2));figureplot(x,Px,'r-')hold on%-----------------------Box-Muller法-----------------------%N=1000;U=rand(1,N);%U,V都是服从(0,1)的均匀分布V=rand(1,N);A=-5;B=5;R=sqrt(-2.*log(U));theta=2*pi*V;X2=R.*cos(theta);Y2=R.*sin(theta);%X，Y都是服从n(0,1)的正态分布%下面的程序是计算通过Box-Muller法生成的正态分布X的pdfMax=ceil(max(X2));step=1;range=A:step:B;for i=1:length(range)-1    YY(i)=sum(range(i)<=X2&X2<=range(i+1))/N/step;    XX(i)=(range(i)+range(i+1))/2;endplot(XX,YY,'bo')hold ontitle('正态分布的pdf')legend('内部函数产生','Box-Muller法产生')

显示结果如下：

上面我们是以正态分布为例来讲述了特殊法的运用，主要是运用了正态分布与其他分布的关系：多个独立同分布的随机变量和服从正态分布；均匀分布与正态分布之间满足Box-Muller法中的关系。因此，当想要由一种分布生成另一种分布的时候，只需要知道它们之间的关系即可！

原文：http://blog.csdn.net/tengweitw/article/details/45599011

作者：nineheadedbird