《剑指Offer》学习笔记--面试题30：最小的k个数

题目：输入n个整数，找出其中最小的k个数。例如输入4,5,1,6,2,7,3,8这8个数字，则最小的4个数字是1,2,3,4。

解法一：O(n)的算法，只有当我们可以修改输入的数组的时候可用

从解决面试题29“数组中出现次数超过一半的数字”得到了启发，我们同样可以基于Partition函数来解决这个问题。如果基于数组的第k个数字来调整，使得比第k个数字小的所有数字都位于数组的左边，比第k个数字大的所有数字都位于数组右边。这样调整之后，位于数组中左边的k个数字就是最小的k个数字（这k个数字不一定是排序的）。下面是基于这种思路的代码：

void GetLeastNumbers(int* input, int n, int* output, int k){if(input == NULL || output == NULL || k > n || n <= 0 || k <= 0)return;int start = 0;int end = n - 1;int index = Partition(input, n, start, end);while(index != k - 1){if(index > k - 1){end = index - 1;index = Partition(input, n, start, end);}else{start = index + 1;index = Partition(input, n, start, end);}}for(int i = 0; i < k; ++ i)output[i] = input[i];}

采用这种思路是有限制的。我们需要修改输入的数组，因为函数Partition会调整数组中数字的顺序。如果面试官要求不能修改输入的数组，我们应该怎么办呢？

解法二：O(nlogk)的算法，特别适合处理海量数据

我们可以先创建一个大小为k的数据容器来存储最小的k个数字，接下来我们每次从输入的n个整数中读入一个数。如果容器中已有的数字少于k个，则直接把这次读入的整数放入容器中：如果容器中已有k个数字了，也就是容器已满，此时我们不能再插入新的数字而只能替换已有的数字。找出这已有的k个数中的最大值，然后拿这次待插入的整数和最大值进行比较。如果待插入的值比当前的已有的最大值还要大，那么这个数不可能是最小的k个整数之一，于是我们可以抛弃这个整数。

因此当容器满了之后，我们要做3件事：

一是在k个整数中找到最大数；

二是有可能在这个容器中删除最大数；

三是有可能要插入一个新的数字。

如果用一个二叉树来实现这个数据容器，那么我们就能在O(logk)时间内实现这三步操作。因此对于n个输入数字而言，总的时间效率就是O(nlogk)。

我们可以选择用不同的二叉树来实现这个数据容器。由于每次都需要找到k个整数中的最大数字，我们很容易想到用最大堆。在最大堆中，根结点的值总是大于它的子树中任意结点的值。于是我们每次可以再O(1)得到已有的k个数字中的最大值，但需要O(logK)时间完成删除及插入操作。

我们自己从头实现一个最大堆需要一定的代码，在面试短短的几十分钟内很难完成。我们还可以采用红黑树来实现我们的容器。红黑树通过把结点分为红、黑两种颜色并根据一些规则确保树在一定程度上是平衡的，从而保证在红黑树中查找、删除和插入操作都只需要O(logK)时间。在STL中set和mutiset都是基于红黑树实现的。如果面试官不反对我们用STL中的数据容器，我们就可以直接拿过来用。下面是基于multiset的参考代码：

typedef multiset<int, greater<int>>  intSet;typedef multiset<int, greater<int>>::iterator setIterator;void GetLeastNumbers(const vector<int>& data, intSet& leastNumbers, int k){leastNumbers.clear();if(k < 1 || data.size())return;vector<int>::const iterator iter = data.begin();for(; iter != data.end(); ++ iter){if(leastNumbers.size() < k)leastNumbers.insert(*iter);else{setIterator iterGreatest = leastNumbers.begin();if(*iter < *(leastNumbers.begin())){leastNumbers.erase(iterGreatest);leastNumbers.insert(*iter);}}}}

解法比较：

基于函数Partition的第一种解法的平均时间复杂度是O(n)，比第二种思路要快，但同时它也有明显的限制，比如会修改输入的数组。

第二种解答虽然要慢一点，但它由两个明显的有点：

一是没有修改输入的数据（代码中的变量data）。我们每次只是从data中读入数字，所有的写操作都是在容器leastNumbers中进行的。

二是该算法适合海量数据的输入。假设题目是要求从海量数据中找出最小的k个数字，由于内存大小是有限的，有可能不能把这些海量的数据一次性全部载入内存。这个时候，我们可以从辅助空间（比如硬盘）中每次读入一个数字，根据GetLeastNumbers的方式判断是不是需要放入容器leastNumbers即可。这种思路只要求内存能够容纳leastNumbers即可，因此它最适合的情形就是n很大并且k较小的问题。

由于这两种算法各有优缺点，各自适用于不同的场合，因此应聘者在动手做题之前先要问清楚题目的要求，包括输入的数据量有多大、能否一次性载入内存、是否允许交换输入数据中数字的顺序等。