平衡二叉树

来源：互联网发布：java对数学要求编辑：程序博客网时间：2024/04/29 13:07

平衡二叉树

平衡二叉树简称平衡树，是由Adelson-Velskii和Landis于1962年首先提出的，所以又称为AVL树，平衡二叉树的性质如下：它的左子树和右子树都是平衡二叉树，且左子树和右子树的深度之差的绝对值不超过1。

平衡因子BF=左子树的深度-右子树的深度，BF只能为-1，0，1。

平衡二叉树是对二叉搜索树(又称为二叉排序树)的一种改进。二叉搜索树有一个缺点就是，树的结构是无法预料的，随意性很大，它只与节点的值和插入的顺序有关系，往往得到的是一个不平衡的二叉树。在最坏的情况下，可能得到的是一个单支二叉树，其高度和节点数相同，相当于一个单链表，导致平均查找长度ASL很大，对其正常的时间复杂度有O(logn)变成了O(n)，从而丧失了二叉排序树的一些应该有的优点。

假设我们已经有棵平衡二叉树，现在让我们来看看插入节点后，原来节点失去平衡后，我们进行选择的处理方式。

平衡二叉树多用于查找数据，所以平衡二叉树又是颗二叉排序树。

那么如何创建一颗平衡二叉树呢？

创建平衡二叉树，我们采用依次插入节点的方式进行。而平衡二叉树上插入节点采用递归的方式进行。递归算法如下：

（1）若该树为一空树，那么插入一个数据元素为e的新节点作为平衡二叉树的根节点，树的高度增加1。

（2）若待插入的数据元素e和平衡二叉树（BBST）的根节点的关键字相等，那么就不需要进行插入操作。

（3）若待插入的元素e比平衡二叉树（BBST）的根节点的关键字小，而且在BBST的左子树中也不存在和e有相同关键字的节点，则将e插入在BBST的左子树上，并且当插入之后的左子树深度增加1时，分别就下列情况处理之。

(a) BBST的根节点的平衡因子为-1（右子树的深度大于左子树的深度）：则将根节点的平衡因子更改为0，BBST的深度不变；

(b) BBST的根节点的平衡因子为0（左右子树的深度相等）：则将根节点的平衡因子修改为1，BBST的深度增加1；

若BBST的左子树根节点的平衡因子为-1，则需进行先向左，后向右的双向旋转平衡处理，并且在旋转处理之后，修改根节点和其左，右子树根节点的平衡因子，树的深度不变；

（4）若e的关键字大于BBST的根节点的关键字，而且在BBST的右子树中不存在和e有相同关键字的节点，则将e插入到BBST的右子树上，并且当插入之后的右子树深度加1时，分别就不同的情况处理之。

（a） BBST的根节点的平衡因子是1（左子树的深度大于右子树的深度）：则将根节点的平衡因子修改为0，BBST的深度不变；

（b） BBST的根节点的平衡因子是0（左右子树的深度相等）：则将根节点的平衡因子修改为-1，树的深度加1；

（c） BBST的根节点的平衡因子为-1（右子树的深度大于左子树的深度）：若BBST的右子树根节点的平衡因子为1，则需要进行两次选择，第一次先向右旋转，再向左旋转处理，并且在旋转处理之后，修改根节点和其左，右子树根节点的平衡因子，树的深度不变；

若BBST的右子树根节点的平衡因子为1，则需要进行一次向左的旋转处理，并且在左旋之后，更新根节点和其左，右子树根节点的平衡因子，树的深度不变；

#include <stdio.h>  #include <stdlib.h>  /************************************************************************/  /*                    平衡二叉树---AVL                                  */  /************************************************************************/  #define LH +1  #define EH  0  #define RH -1  typedef int ElemType;  typedef struct BSTNode{      ElemType data;      int bf;//balance flag      struct BSTNode *lchild,*rchild;  }*PBSTree;    void R_Rotate(PBSTree* p)  {      PBSTree lc = (*p)->lchild;      (*p)->lchild = lc->rchild;      lc->rchild = *p;      *p = lc;  }    void L_Rotate(PBSTree* p)  {      PBSTree rc = (*p)->rchild;      (*p)->rchild = rc->lchild;      rc->lchild = *p;      *p = rc;  }    void LeftBalance(PBSTree* T)  {      PBSTree lc,rd;      lc = (*T)->lchild;      switch (lc->bf)      {      case LH:          (*T)->bf = lc->bf = EH;          R_Rotate(T);          break;      case RH:          rd = lc->rchild;          switch(rd->bf)          {          case LH:              (*T)->bf = RH;              lc->bf = EH;              break;          case EH:              (*T)->bf = lc->bf = EH;              break;          case RH:              (*T)->bf = EH;              lc->bf = LH;              break;          }          rd->bf = EH;          L_Rotate(&(*T)->lchild);          R_Rotate(T);          break;      }  }    void RightBalance(PBSTree* T)  {      PBSTree lc,rd;      lc= (*T)->rchild;      switch (lc->bf)      {      case RH:          (*T)->bf = lc->bf = EH;          L_Rotate(T);          break;      case LH:          rd = lc->lchild;          switch(rd->bf)          {          case LH:              (*T)->bf = EH;              lc->bf = RH;              break;          case EH:              (*T)->bf = lc->bf = EH;              break;          case RH:              (*T)->bf = EH;              lc->bf = LH;              break;          }          rd->bf = EH;          R_Rotate(&(*T)->rchild);          L_Rotate(T);          break;      }  }    int InsertAVL(PBSTree* T,ElemType e,bool* taller)  {      if ((*T)==NULL)      {          (*T)=(PBSTree)malloc(sizeof(BSTNode));          (*T)->bf = EH;          (*T)->data = e;          (*T)->lchild = NULL;          (*T)->rchild = NULL;      }      else if (e == (*T)->data)      {          *taller = false;          return 0;      }      else if (e < (*T)->data)      {          if(!InsertAVL(&(*T)->lchild,e,taller))              return 0;          if(*taller)          {              switch ((*T)->bf)              {              case LH:                  LeftBalance(T);                  *taller = false;                  break;              case  EH:                  (*T)->bf = LH;                  *taller = true;                  break;              case RH:                  (*T)->bf = EH;                  *taller = false;                  break;              }          }      }      else      {          if(!InsertAVL(&(*T)->rchild,e,taller))              return 0;          if (*taller)          {              switch ((*T)->bf)              {              case LH:                  (*T)->bf = EH;                  *taller = false;                  break;              case EH:                  (*T)->bf = RH;                  *taller = true;                  break;              case  RH:                  RightBalance(T);                  *taller = false;                  break;              }          }      }      return 1;  }    bool FindNode(PBSTree root,ElemType e,PBSTree* pos)  {      PBSTree pt = root;      (*pos) = NULL;      while(pt)      {          if (pt->data == e)          {              //找到节点，pos指向该节点并返回true              (*pos) = pt;              return true;          }          else if (pt->data>e)          {              pt = pt->lchild;          }          else              pt = pt->rchild;      }      return false;  }  void InorderTra(PBSTree root)  {      if(root->lchild)          InorderTra(root->lchild);      printf("%d ",root->data);      if(root->rchild)          InorderTra(root->rchild);  }    int main()  {      int i,nArr[] = {1,23,45,34,98,9,4,35,23};      PBSTree root=NULL,pos;      bool taller;      for (i=0;i<9;i++)      {          InsertAVL(&root,nArr[i],&taller);      }      InorderTra(root);      if(FindNode(root,103,&pos))          printf("\n%d\n",pos->data);      else          printf("\nNot find this Node\n");      return 0;  }

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