Graph（store and create）

图的存储结构
1、 邻接矩阵
图的邻接矩阵存储方式是用两个数组来表示图。一个一维数组存储图中顶点信息，一个二维数组（邻接矩阵）存储图中的边或弧的信息。
设图G有n个顶点，则邻接矩阵是一个n*n的方阵，定义为：

看一个实例，下图左就是一个无向图。

从上面可以看出，无向图的边数组是一个对称矩阵。所谓对称矩阵就是n阶矩阵的元满足aij = aji。即从矩阵的左上角到右下角的主对角线为轴，右上角的元和左下角相对应的元全都是相等的。
从这个矩阵中，很容易知道图中的信息。
（1）要判断任意两顶点是否有边无边就很容易了；
（2）要知道某个顶点的度，其实就是这个顶点vi在邻接矩阵中第i行或（第i列）的元素之和；
（3）求顶点vi的所有邻接点就是将矩阵中第i行元素扫描一遍，arc[i][j]为1就是邻接点；
而有向图讲究入度和出度，顶点vi的入度为1，正好是第i列各数之和。顶点vi的出度为2，即第i行的各数之和。
若图G是网图，有n个顶点，则邻接矩阵是一个n*n的方阵，定义为：

这里的wij表示(vi,vj)上的权值。无穷大表示一个计算机允许的、大于所有边上权值的值，也就是一个不可能的极限值。下面左图就是一个有向网图，右图就是它的邻接矩阵。

那么邻接矩阵是如何实现图的创建的呢？代码如下。

#include <stdio.h>#include <stdlib.h>#pragma warning (disable:4996)typedef char VertexType;                //顶点类型应由用户定义typedef int EdgeType;                   //边上的权值类型应由用户定义#define MAXVEX  100             //最大顶点数，应由用户定义#define INFINITY    65535               //用65535来代表无穷大#define DEBUG               //用来测试。若此预定义命令存在，则预编译#if……#endif间的代码；//调试完毕清除此命令，则编译器不会预编译#if……#endif间的代码typedef struct{    VertexType vexs[MAXVEX];            //一维数组存储顶点    EdgeType   arc[MAXVEX][MAXVEX];         //二维数组存储邻接矩阵，表示边    int numVertexes, numEdges;      //图中当前的顶点数和边数}*Graph, GraphNode;//此函数用于定位int locates(Graph g, char ch){    int i = 0;    for (i = 0; i < g->numVertexes; i++)    {        if (g->vexs[i] == ch)        {            break;        }    }    if (i >= g->numVertexes)    {        return -1;    }    return i;}//此函数建立一个无向网图的邻接矩阵表示Graph CreateGraph(){    Graph g;    g = (Graph)malloc(sizeof(GraphNode));    int i, j, k, weight;//i,j,k用于for循环    printf("输入顶点数和边数:\n");    scanf("%d,%d", &(g->numVertexes), &(g->numEdges));#ifdef DEBUG    printf("%d,%d\n", g->numVertexes, g->numEdges);#endif    //顶点数组初始化    printf("输入顶点数组:\n");    for (i = 0; i < g->numVertexes; i++)    {        g->vexs[i] = getchar();//顶点数组初始化        while (g->vexs[i] == '\n')//去除用户操作时产生的无用换行        {            g->vexs[i] = getchar();        }    }#ifdef DEBUG    for (i = 0; i < g->numVertexes; i++)    {        printf("%c ", g->vexs[i]);    }    printf("\n");#endif    //邻接矩阵初始化（赋值为无穷）    for (i = 0; i < g->numEdges; i++)    {        for (j = 0; j < g->numEdges; j++)        {            g->arc[i][j] = INFINITY; //邻接矩阵初始化        }    }    //邻接矩阵的处理（用户输入位置，权值。然后程序根据输入数据处理邻接矩阵）    for (k = 0; k < g->numEdges; k++)    {        char p, q;        printf("输入边(vi,vj)上的下标i，下标j和权值（只用输入上三角或下三角）:\n");        p = getchar();//输入行        while (p == '\n')        {            p = getchar();        }        q = getchar();//输入列        while (q == '\n')        {            q = getchar();        }        scanf("%d", &weight);//输入权值        int m = -1;        int n = -1;        m = locates(g, p);        n = locates(g, q);        if (n == -1 || m == -1)//定位失败        {            fprintf(stderr, "there is no this vertex.\n");            return NULL;        }        //getchar();        g->arc[m][n] = weight;        g->arc[n][m] = g->arc[m][n];  //因为无向图矩阵对称，赋值另一端    }    return g;}//打印图void printGraph(Graph g){    int i, j;    for (i = 0; i < g->numVertexes; i++)    {        for (j = 0; j < g->numVertexes; j++)        {            printf("%d  ", g->arc[i][j]);        }        printf("\n");    }}int main(){    Graph g;    g = CreateGraph();//邻接矩阵创建图    printGraph(g);    system("pause");    return 0;}

2、 邻接表
邻接矩阵是不错的一种图存储结构，但是，对于边数相对顶点较少的图，这种结构存在对存储空间的极大浪费。因此，找到一种数组与链表相结合的存储方法称为邻接表。
邻接表的处理方法是这样的：
（1）图中顶点用一个一维数组存储，当然，顶点也可以用单链表来存储，不过，数组可以较容易的读取顶点的信息，更加方便。
（2）图中每个顶点vi的所有邻接点构成一个线性表，由于邻接点的个数不定，所以，用单链表存储，无向图称为顶点vi的边表，有向图则称为顶点vi作为弧尾的出边表。
例如，下图就是一个无向图的邻接表的结构。

从图中可以看出，顶点表的各个结点由data和firstedge两个域表示，data是数据域，存储顶点的信息，firstedge是指针域，指向边表的第一个结点，即此顶点的第一个邻接点。边表结点由adjvex和next两个域组成。adjvex是邻接点域，存储某顶点的邻接点在顶点表中的下标，next则存储指向边表中下一个结点的指针。
对于带权值的网图，可以在边表结点定义中再增加一个weight的数据域，存储权值信息即可。如下图所示。

对于邻接表结构，图的建立代码如下。

/* 邻接表表示的图结构 */#include <stdio.h>#include<stdlib.h>#pragma warning (disable:4996)#define DEBUG#define MAXVEX 1000         //最大顶点数typedef char VertexType;        //顶点类型应由用户定义typedef int EdgeType; //边上的权值类型应由用户定义//定义边表结点typedef struct EdgeNode         {    int adjvex;         //邻接点域，存储该顶点对应的下标    EdgeType weight;        //用于存储权值，对于非网图可以不需要    struct EdgeNode *next;      //链域，指向下一个邻接点}EdgeNode; //定义头结点（使用了边表结点）typedef struct VertexNode      {    VertexType data;        //顶点域，存储顶点信息    EdgeNode *firstedge;        //指针指向表结点}VertexNode, AdjList[MAXVEX];//定义图（使用了头结点）typedef struct{    AdjList adjList;    int numVertexes, numEdges;  //图中当前顶点数和边数}GraphList;//此函数用于定位，返回数组下标值int Locate(GraphList *g, char ch){    int i;    for (i = 0; i < MAXVEX; i++)    {        if (ch == g->adjList[i].data)        {            break;        }    }    if (i >= MAXVEX)    {        fprintf(stderr, "there is no vertex.\n");        return -1;    }    return i;}//此函数建立图的邻接表结构void CreateGraph(GraphList *g){    int i, j;//i,j用于for循环计数器。    EdgeNode *e;    EdgeNode *f;    printf("输入顶点数和边数:\n");    scanf("%d,%d", &g->numVertexes, &g->numEdges);#ifdef DEBUG    printf("%d,%d\n", g->numVertexes, g->numEdges);#endif    //建立顶点表    for (i = 0; i < g->numVertexes; i++)    {        printf("请输入顶点%d:\n", i);        g->adjList[i].data = getchar();          //输入顶点信息        g->adjList[i].firstedge = NULL;          //将边表置为空表        while (g->adjList[i].data == '\n')       //考虑到用户可能会输入（多个）换行        {            g->adjList[i].data = getchar();        }    }    //建立边表    for (j = 0; j < g->numEdges; j++)    {        printf("输入边(vi,vj)上的顶点序号:\n");        char p, q;        p = getchar();        while (p == '\n')        {            p = getchar();        }        q = getchar();        while (q == '\n')        {            q = getchar();        }        int m=-1, n=-1;        m = Locate(g, p);        n = Locate(g, q);        if (m == -1 || n == -1)        {            return;        }#ifdef DEBUG        printf("p = %c\n", p);        printf("q = %c\n", q);        printf("m = %d\n", m);        printf("n = %d\n", n);#endif        //向内存申请空间，生成一个边表结点        e = (EdgeNode *)malloc(sizeof(EdgeNode));        if (e == NULL)        {            fprintf(stderr, "malloc() error.\n");            return;        }        //这是一个单链表的前插过程。        e->adjvex = n;//将邻接点的下表放入此边表结点的邻接点域。        e->next = g->adjList[m].firstedge;        g->adjList[m].firstedge = e;        //向内存申请空间，生成另一个边表结点        f = (EdgeNode *)malloc(sizeof(EdgeNode));        if (f == NULL)        {            fprintf(stderr, "malloc() error.\n");            return;        }        //这是一个单链表的前插过程。        f->adjvex = m;//将邻接点的下表放入此边表结点的邻接点域。        f->next = g->adjList[n].firstedge;        g->adjList[n].firstedge = f;    }}void printGraph(GraphList *g){    int i = 0;#ifdef DEBUG    printf("printGraph() start.\n");#endif    while (g->adjList[i].firstedge != NULL && i < MAXVEX)    {        printf("顶点:%c  ", g->adjList[i].data);        EdgeNode *e = NULL;        e = g->adjList[i].firstedge;        while (e != NULL)        {            printf("%d  ", e->adjvex);            e = e->next;        }        i++;        printf("\n");    }}int main(){    GraphList g;    CreateGraph(&g);    printGraph(&g);    return 0;}

对于无向图，一条边对应都是两个顶点，所以，在循环中，一次就针对i和j分布进行插入。
本算法的时间复杂度，对于n个顶点e条边来说，很容易得出是O(n+e)。

3 、十字链表
对于有向图来说，邻接表是有缺陷的。关心了出度问题，想了解入度就必须要遍历整个图才知道，反之，逆邻接表解决了入度却不了解出度情况。下面介绍的这种有向图的存储方法：十字链表，就是把邻接表和逆邻接表结合起来的。
重新定义顶点表结点结构，如下所示。

其中firstin表示入边表头指针，指向该顶点的入边表中第一个结点，firstout表示出边表头指针，指向该顶点的出边表中的第一个结点。
重新定义边表结构，如下所示。

其中，tailvex是指弧起点在顶点表的下标，headvex是指弧终点在顶点表的下标，headlink是指入边表指针域，指向终点相同的下一条边，taillink是指边表指针域，指向起点相同的下一条边。如果是网，还可以增加一个weight域来存储权值。
比如下图，顶点依然是存入一个一维数组，实线箭头指针的图示完全与邻接表相同。就以顶点v0来说，firstout指向的是出边表中的第一个结点v3。所以，v0边表结点hearvex = 3，而tailvex其实就是当前顶点v0的下标0，由于v0只有一个出边顶点，所有headlink和taillink都是空的。

重点需要解释虚线箭头的含义。它其实就是此图的逆邻接表的表示。对于v0来说，它有两个顶点v1和v2的入边。因此的firstin指向顶点v1的边表结点中headvex为0的结点，如上图圆圈1。接着由入边结点的headlink指向下一个入边顶点v2，如上图圆圈2。对于顶点v1，它有一个入边顶点v2，所以它的firstin指向顶点v2的边表结点中headvex为1的结点，如上图圆圈3。
十字链表的好处就是因为把邻接表和逆邻接表整合在一起，这样既容易找到以v为尾的弧，也容易找到以v为头的弧，因而比较容易求得顶点的出度和入度。
而且除了结构复杂一点外，其实创建图算法的时间复杂度是和邻接表相同的，因此，在有向图应用中，十字链表是非常好的数据结构模型。
这里就介绍以上三种存储结构，除了第三种存储结构外，其他的两种存储结构比较简单。