【HDU】5227 Tom and game【快速求gcd值+点分治】

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前言：

在数论大神队友的帮助下知道了怎么预处理……然后我就套了一个点分治就过了……

题目分析：

其实对于一个四元组，我们可以看成一个狮子堆，他能转移到的状态有多少，他就是多少高的石子堆……然后一条路径上所有的石子堆用来做游戏，其实就相当于经典的取石子的Nim和游戏……只要异或和不为0，先手胜，反之后手胜。

对于路径上异或和不为0的路径条数，我们可以用点分治搞搞，这个没有难度，套一个map就做完了……下面重点说一下预处理。

考虑一个四元组(a,b,c,d)。

当t≤a−1时，我们有：

∑t=1a−1∑i=1t∑j=1tgcd(i,j)

当t=a,i≤b−1时，我们有：

∑i=1b−1∑j=1agcd(i,j)

当t=a,i=b,j≤c−1时，我们有：

∑j=1c−1gcd(b,j)

当t=a,i=b,j=c,k≤d−1，此时个数就是d-1个。

把上面的值全部累加起来就是对于一个四元组，他的sg值（石子个数）。

然后对于子问题∑ni=1∑mj=1gcd(i,j)我们如何快速的求解。下面直接给一段贾志鹏线性筛里的解法：
∑ni=1∑mj=1gcd(i,j)
=∑ni=1∑mj=1∑d|gcd(i,j)φ(d)
=∑ni=1∑mj=1∑d|i and d|jφ(d)
=∑min(n,m)d=1φ(d)∑1≤i≤n and d|i∑1≤j≤m and d|j1
=∑min(n,m)d=1φ(d)(∑1≤i≤n and d|i1)(∑1≤j≤m and d|j1)
=∑min(n,m)d=1φ(d)⌊nd⌋⌊md⌋

然后我们发现⌊nd⌋只有O(n√)个值，而且⌊nd⌋和⌊md⌋是独立的，所以⌊nd⌋⋅⌊md⌋只有O(n√)个值。所以我们在O(n√)的时间内就能处理出一个四元组的sg值。

之后只要我们做一次点分治，求出异或值为0的路径条数cnt，然后令路径总数为tot，则ans=(tot−cnt)tot。

my  code:

#include <stdio.h>#include <string.h>#include <map>#include <algorithm>using namespace std ;typedef long long LL ;#define clr( a , x ) memset ( a , x , sizeof a )#define cpy( a , x ) memcpy ( a , x , sizeof a )const int MAXN = 10005 ;const int MAXE = 20005 ;struct Edge {    int v , n ;    Edge () {}    Edge ( int v , int n ) : v ( v ) , n ( n ) {}} ;Edge E[MAXE] ;int H[MAXN] , cntE ;int phi[MAXN] ;LL val[MAXN] ;LL S[MAXN] , top ;LL ct[MAXN] ;int ans ;int n ;int Q[MAXN] , head , tail ;map < LL , int > mp ;int vis[MAXN] ;int siz[MAXN] ;int pre[MAXN] ;int gcd ( int a , int b ) {    return b ? gcd ( b , a % b ) : a ;}void init () {    ans = 0 ;    cntE = 0 ;    clr ( H , -1 ) ;    clr ( vis , 0 ) ;}void addedge ( int u , int v ) {    E[cntE] = Edge ( v , H[u] ) ;    H[u] = cntE ++ ;}LL get ( int n , int m ) {    LL res = 0 ;    if ( n > m ) swap ( n , m ) ;    for ( int i = 1 , j ; i <= n ; i = j + 1 ) {        j = min ( n / ( n / i ) , m / ( m / i ) ) ;        res += ( LL ) ( phi[j] - phi[i - 1] ) * ( n / i ) * ( m / i ) ;    }    return res ;}void preprocess () {    for ( int i = 0 ; i <= 10000 ; ++ i ) {        phi[i] = i ;    }    for ( int i = 2 ; i <= 10000 ; ++ i ) if ( phi[i] == i ) {        for ( int j = i ; j <= 10000 ; j += i ) {            phi[j] = phi[j] / i * ( i - 1 ) ;        }    }    for ( int i = 2 ; i <= 10000 ; ++ i ) {        phi[i] += phi[i - 1] ;    }    for ( int t = 1 ; t <= 10000 ; ++ t ) {        ct[t] = get ( t , t ) + ct[t - 1] ;    }}int get_root ( int s ) {    head = tail = 0 ;    Q[tail ++] = s ;    pre[s] = 0 ;    while ( head != tail ) {        int u = Q[head ++] ;        for ( int i = H[u] ; ~i ; i = E[i].n ) {            int v = E[i].v ;            if ( vis[v] || v == pre[u] ) continue ;            pre[v] = u ;            Q[tail ++] = v ;        }    }    int root_siz = tail , root = s ;    while ( head ) {        int u = Q[-- head] , cnt = 1 ;        siz[u] = 1 ;        for ( int i = H[u] ; ~i ; i = E[i].n ) {            int v = E[i].v ;            if ( vis[v] || v == pre[u] ) continue ;            siz[u] += siz[v] ;            if ( siz[v] > cnt ) cnt = siz[v] ;        }        cnt = max ( cnt , tail - siz[u] ) ;        if ( cnt < root_siz ) {            root_siz = cnt ;            root = u ;        }    }    return root ;}void get_val ( int u , int f , LL value ) {    S[top ++] = value ;    for ( int i = H[u] ; ~i ; i = E[i].n ) {        int v = E[i].v ;        if ( vis[v] || v == f ) continue ;        get_val ( v , u , value ^ val[v] ) ;    }}void dfs ( int u ) {    int root = get_root ( u ) ;    vis[root] = 1 ;    mp.clear () ;    if ( !val[root] ) ++ ans ;    for ( int i = H[root] ; ~i ; i = E[i].n ) {        int v = E[i].v ;        if ( vis[v] ) continue ;        top = 0 ;        get_val ( v , root , val[v] ) ;        for ( int j = 0 ; j < top ; ++ j ) {            map < LL , int > :: iterator it = mp.find ( S[j] ^ val[root] ) ;            if ( it != mp.end () ) ans += it->second * 2 ;            if ( !( S[j] ^ val[root] ) ) ans += 2 ;        }        for ( int j = 0 ; j < top ; ++ j ) {            mp[S[j]] ++ ;        }    }    for ( int i = H[root] ; ~i ; i = E[i].n ) {        int v = E[i].v ;        if ( vis[v] ) continue ;        dfs ( v ) ;    }}void solve () {    int t , a , b , c ;    init () ;    for ( int i = 1 ; i < n ; ++ i ) {        scanf ( "%d%d" , &a , &b ) ;        addedge ( a , b ) ;        addedge ( b , a ) ;    }    for ( int i = 1 ; i <= n ; ++ i ) {        scanf ( "%d%d%d%d" , &t , &a , &b , &c ) ;        val[i] = ct[t - 1] + c - 1 ;        val[i] += get ( a - 1 , t ) ;        val[i] += get ( a , b - 1 ) - get ( a - 1 , b - 1 ) ;    }    dfs ( 1 ) ;    ans = n * n - ans ;    int x = gcd ( n * n , ans ) ;    printf ( "%d/%d\n" , ans / x , n * n / x  ) ;}int main () {    preprocess () ;    while ( ~scanf ( "%d" , &n ) ) solve () ;    return 0 ;}