《剑指Offer》学习笔记--面试题43：n个骰子的点数

题目：把n个骰子仍在地上，所有骰子朝上一面的点数之和为s。输入n，打印出s的所有可能的值出现的概率。

玩过麻将的人都知道，骰子一共6面，每个面上都有一个点数，对应的是1~6之间的一个数字。所以n个骰子的点数和的最小值为n，最大值应为6n。另外根据排列组合的知识，我们还知道n个骰子的所有点数的排列为6^n。要解决这个问题，我们需要先统计出每一个点数出现的次数，然后把每一个点数出现的次数除以6^n，就能求出每个点数出现的概率。

解法一：基于递归求骰子点数，时间效率不够高

现在我们考虑如何统计每一个点数出现的次数。想要求出n个骰子的点数和，可以先把n个骰子分为两堆：第一堆只有一个，另一个有n-1个。单独的那一个有可能出现从1到6的点数。我们需要计算从1到6的每一种点数和剩下的n-1个骰子来计算点数和。接下来把剩下的n-1个骰子还是分成两堆，第一堆只有一个，第二堆有n-2个。我们把上一轮那个单独骰子的点数和这一轮单独骰子的点数相加，再和剩下的n-2个骰子来计算点数和。分析到这里我们不难发现这是一个递归思路，递归结束条件是最后只剩下一个骰子。

我们可以定义一个长度为6n-n+1的数组，和为s的点数出现的次数保存到数组第s-n个元素里。基于这种思路，我们可以写出如下代码：

int g_maxValue = 6;void PrintProbability(int number){if(number < 1)return;int maxSum = number * g_maxValue;int* pProbabilities = new int[maxSum - number + 1];for(int i = number; i <= maxSum; ++ i)pProbabilities[i - number] = 0;Probability(number, pProbabilities);int total = pow((double)g_maxValue, number);for(int i = number; i <= maxSum; ++ i){double ratio = (double)pProbabilities[i - number] / total;printf("%d: %e\n", i, ratio);}delete[] pProbablilities;}void Probability(int number, int* pProbabilities){for(int i = 1; i <= g_maxValue; ++ i)Probability(number, number, i, pProbabilities);}void Probability(int original, int current, int sum, int *pProbability){if(current == 1)pProbabilities[sum - original] ++;else{for(int i = 1; i <= g_maxValue; ++ i)Probability(original, current - 1; i + sum, pProbabilities);}}

上述思路很简洁，实现起来也容易。但由于 是基于递归实现的，它有很多计算是重复的，从而导致当number变大时性能慢得让人不能接受。

解法二：基于循环求骰子点数，时间性能好

可以换一种思路来解决这个问题。我们可以考虑用两个数组来存储骰子点数的每一个总数出现的次数。在一次循环中，第一个数组中的第n个数字表示骰子和为n出现的次数。在下一个循环中，我们加上一个新的骰子，此时和为n的骰子出现的次数应该等于上一次循环中骰子点数和为n-1、n-2、n-3、n-4、n-5与n-6之和。

基于这个思路，我们可以写出如下代码：

void PrintProbability(int number){if(number < 1)return;int *pProbabilities[2];pProbabilities[0] = new int[g_maxValue * number + 1];pProbabilities[1] = new int[g_maxValue * number + 1];for(int i = 0; i < g_maxValue * number + 1; ++ i){pProbabilities[0][i] = 0;pProbabilities[1][i] = 0;}int flag = 0;for(int i = 1; i <= g_maxValue; ++ i)pProbabilities[flag][i] = 1;for(int k = 2; k <= number; ++ k){for(int i = 0; i < k; ++ i)pProbabilities[1 - flag][i] = 0;for(int i = k; i <= g_maxValue; ++ i){pProbabilities[1 - flag][i] = 0;for(int j = 1; j <= i && j <= g_maxValue; ++ j)pProbabilities[1 - flag][i] += pProbabilities[flag][i - j];}flag = 1 - flag;}double total = pow((double)g_maxValue, number);for(int i = number; i <= g_maxValue * number; ++ i){double ratio = (double)pProbabilities[flag][i] / total;printf("%d: %\n", i, ratio);}delete[] pProbabilities[0];delete[] pProbabilities[1];}

在上述代码中，我们定义了两个数组pProbabilities[0]和pProbabilities[1]来存储骰子的点数之和。在一轮循环中，一个数组的第n项等于另一个数组的第n-1，n-2,n-3,n-4以及n-5项的和。在下一轮循环中，我们交换这两个数组（通过改变变量flag实现）再重复计算这一过程。

值得注意的是，上述代码没有在函数里把一个骰子的最大点数硬编码为6，而是用一个变量g_maxValue来表示。这样做的好处是，如果某个厂家生产了其他点数的骰子，我们只需要在代码中修改一个地方，扩展起来很方便。如果在面试的时候我们能对面试官提起对程序扩展性的考虑，一定能给面试官留下很好的印象。