地宫取宝

标题：地宫取宝

X 国王有一个地宫宝库。是 n x m 个格子的矩阵。每个格子放一件宝贝。每个宝贝贴着价值标签。地宫的入口在左上角，出口在右下角。小明被带到地宫的入口，国王要求他只能向右或向下行走。走过某个格子时，如果那个格子中的宝贝价值比小明手中任意宝贝价值都大，小明就可以拿起它（当然，也可以不拿）。当小明走到出口时，如果他手中的宝贝恰好是k件，则这些宝贝就可以送给小明。请你帮小明算一算，在给定的局面下，他有多少种不同的行动方案能获得这k件宝贝。

【数据格式】
输入一行3个整数，用空格分开：n m k (1<=n,m<=50, 1<=k<=12)
接下来有 n 行数据，每行有 m 个整数 Ci (0<=Ci<=12)代表这个格子上的宝物的价值
要求输出一个整数，表示正好取k个宝贝的行动方案数。该数字可能很大，输出它对 1000000007 取模的结果。
例如，输入：
2 2 2
1 2
2 1
程序应该输出：
2

再例如，输入：
2 3 2
1 2 3
2 1 5
程序应该输出：
14
资源约定：
峰值内存消耗 < 256M
CPU消耗 < 1000ms
（这道题是去年（2014年）蓝桥杯比赛的一道省赛题目，本人当时这道题没做出来，不过也是有惊无险的进入决赛了。今年再次进入决赛，决定把往年一些算法题拿来研究研究，好好准备下。）
思路如下：
首先我觉得我们搞算法的，可能大家都对回溯算法比较了解。但是我觉得我们大学生去搞算法比赛的，应该慎用回溯，回溯就是剪枝的暴力搜索。
这道题也不例外，可以用回溯，但是数据大了之后，必定会超时。
所以我们选用动态规划（需满足无后效性和最优子结构），动态规划首先是找递推公式
f(n,m,k,max) =

⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪0,1,d[N−n][M−m],(此时已经拿到K个宝物，只需求从(n,m)到(N,M)有多少条路线)f(n+1,m,k,max)+f(n,m+1,k,max),f(n+1,m,k,max)+f(n,m+1,k,max)+f(n+1,m,k+1,b[n][m])+f(n,m+1,k+1,b[n][m]),n>N || m>M || k>Kn==N && m==M && k==(K-1)k==Kb[n][m]<=max不能取宝物b[n][m]>max可以取宝物

f(n,m,k,max)含义是取到(n,m)点，已经取了k个宝物，并且这些宝物中，最大值为max。
有了递推公式，写程序就很简单了

#include <stdio.h>#include <string.h>#define KK 1000000007 int a[51][51][13][13];//最后一个13从题目得知int b[51][51];//存放宝藏价值int d[51][51];int N, M, K;int f(int n, int m, int k, int max);int ff(int n, int m);int main(){    int i, j;    scanf("%d %d %d", &N, &M, &K);    for (i = 1; i <= N; ++i)    {        for (j = 1; j <= M; ++j)        {            scanf(" %d", &(b[i][j]));        }    }    memset(a,-1,sizeof(a));    ff(50,50);    a[1][1][0][0] = f(1,1,0,-1);    printf("%d", a[1][1][0][0]);    return 0;}int f(int n, int m, int k, int max){    int &temp = a[n][m][k][max];    if (n>N || m>M || k>K) return 0;    if (n==N && m==M && k==(K-1) && (b[n][m]>max)) return temp = 1;    if (n==N && m==M && k==K)return temp = 1;    if (temp!=-1) return temp;//  if (temp) return temp % KK ;    if (k==K) return temp = d[N-n][M-m]%KK ;//这里可以写从(n,m)到(N,M)有多少路线    temp = 0;    if (b[n][m]>max)    {        temp += f(n+1, m, k, max);        temp = temp%KK;        temp += f(n,m+1,k,max);        temp = temp%KK;        temp += f(n+1,m,k+1,b[n][m]);        temp = temp%KK;        temp += f(n,m+1,k+1,b[n][m]);        temp = temp%KK;    }    else    {        temp += f(n+1, m, k, max);        temp = temp%KK;        temp += f(n,m+1,k,max);        temp = temp%KK;    }    return temp;}int ff(int n, int m){    int &temp = d[n][m];    if (n < 0 || m < 0) return 0;    if (n==0 || m==0) return temp = 1;    if(temp) return temp;    return temp = ff(n-1,m)+ff(n,m-1);}

其实那个ff（）动态规划可以不需要，大家可以想想为什么？