hdu 2256 Problem of Precision(矩阵快速幂 推公式)

题意：

给出n，求（（sqrt（2）+sqrt（3））^（2*n））%1024

 

解题思路：

（sqrt（2）+sqrt（3））^2  =  （5+2*sqrt（6））

(5+2*sqrt(6))^n = Xn+Yn*sqrt( 6 )  =  ( Xn-1+Yn-1*sqrt( 6 ) ) * ( 5+2*sqrt( 6 ) )

                                                      =  (5*Xn-1+12*Yn-1) + (2*Xn-1+5*Yn-1)*sqrt( 6 )

所以Xn = 5*Xn-1+12*Yn-1    Yn =2*Xn-1+5*Yn-1  

矩阵就容易构造了

结果需要处理一下，不能直接算

（5-2*sqrt（6））^n  =  （0,101）^n  近似为0

Xn+Yn*sqrt( 6 )  = Xn+Yn-1+Xn-Yn-1-(Xn-Yn*sqrt( 6 ))  = 2*Xn-(0.101..)^n

向下取整

所以最终结果是2*Xn-1

 

错误点：

直接认为结果等于(an+bn*sqrt(6))%1024，但是这种结果是错的，因为这边涉及到了double，必然会有误差，所以根double有关的取模都是错误的思路

 

#include <iostream>#include <string>#include <cstring>#include <cstdio>#include <math.h>#include <algorithm>using namespace std;#define mod 1024struct matrix{int a[2][2];};matrix mul(matrix a,matrix b){matrix ret;memset(ret.a,0,sizeof(ret.a));for(int i = 0;i<2;i++){for(int j=0;j<2;j++){ret.a[i][j] = (a.a[i][0]*b.a[0][j]+a.a[i][1]*b.a[1][j])%mod;}}return ret;}matrix mpower(matrix a,__int64 x){matrix I;I.a[0][0] = I.a[1][1] = 1;I.a[0][1] = I.a[1][0] = 0;while(x){if(x&1) I = mul(I,a);x>>=1;a = mul(a,a);}return I;}int main(){int t;cin>>t;while(t--){matrix tmp;tmp.a[0][0] = 5;tmp.a[0][1] = 12;tmp.a[1][0] = 2;tmp.a[1][1] = 5;__int64 n;cin>>n;tmp = mpower(tmp,n-1);int x,y;x = (tmp.a[0][0]*5+tmp.a[0][1]*2)%mod;y = (tmp.a[1][0]*5+tmp.a[1][1]*2)%mod;int sum = (2*x-1+mod)%mod;cout<<sum<<endl;}return 0;}