牛顿迭代法求高精度开方

牛顿迭代法：http://baike.baidu.com/view/643093.htm

牛顿迭代公式：x(n+1)=x(n）－f(x(n))/f'(x(n))

如求2的平方根，构造函数 x^2 - 2 = 0;

dif为精度， 如果精度小于dif 跳出程序。这样可求出简单的平方根

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1. import java.math.BigDecimal;  
2. import java.math.MathContext;  
3. import java.math.RoundingMode;  
4.   
5. public class sqrt{  
6.     public static void main(String[] args){  
7.         //                  x^2 -2 = 0  
8.         BigDecimal x1 = new BigDecimal(1);  
9.         BigDecimal x2 = new BigDecimal(0);  
10.         BigDecimal dif = new BigDecimal(0);  
11.         BigDecimal precision = new BigDecimal(0.000000000000000000000000000000000000000000000000001);  
12.         while(true){  
13.             x2 = x1.subtract(x1.pow(2).subtract(new BigDecimal(2)).divide(x1.multiply(new BigDecimal(2)),100, BigDecimal.ROUND_HALF_EVEN));  
14.               
15.             if(x1.compareTo(x2)==1){  
16.                 dif = x1.subtract(x2);  
17.             }else{  
18.                 dif = x2.subtract(x1);  
19.             }  
20.               
21.             if(dif.compareTo(precision)==-1){  
22.                 System.out.println(x1+","+x2);  
23.                 break;  
24.             }  
25.               
26.             x1 = x2;  
27.         }  
28.     }  
29. }  

如果要求高精度，而 怎样确定dif小于小数点后100位？

使用java提供的大数类，后程序变为

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1. public class sqrt{  
2.     public static void main(String[] args){  
3.         //                  x^2 -2 = 0  
4.         double x1=1,x2=0;  
5.         double dif=0;  
6.         while(true){  
7.             x2 = x1 - (x1*x1-2)/(2*x1);  
8.             if(x2>x1){  
9.                 dif = x2-x1;  
10.             }else{  
11.                 dif = x1-x2;  
12.             }  
13.               
14.             if(dif<0.000000000001){  
15.                 System.out.println(x1+","+x2);  
16.                 break;  
17.             }  
18.             x1 = x2;  
19.         }  
20.     }  
21. }  

其中大数运算中出现除不尽的异常，后直接控制了位数，保留100位。

现在的问题是，如何确定精度dif是100，也就是怎样用Java表示出0.000……1 （小数点后100位）

考虑了很久，其实可以用  大数运算  用1除10的100次方。

改进代码如下：

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1. import java.math.BigDecimal;  
2. import java.math.MathContext;  
3. import java.math.RoundingMode;  
4.   
5. public class sqrt{  
6.     public static void main(String[] args){  
7.         //                  x^2 -2 = 0  
8.         BigDecimal x1 = new BigDecimal(1);  
9.         BigDecimal x2 = new BigDecimal(0);  
10.         BigDecimal dif = new BigDecimal(0);  
11.           
12.         BigDecimal precision =x1.divide(new BigDecimal(10).pow(100));  
13.         System.out.println(precision);  
14.         while(true){  
15.             x2 = x1.subtract(x1.pow(2).subtract(new BigDecimal(2)).divide(x1.multiply(new BigDecimal(2)),100, BigDecimal.ROUND_HALF_EVEN));  
16.               
17.             if(x1.compareTo(x2)==1){  
18.                 dif = x1.subtract(x2);  
19.             }else{  
20.                 dif = x2.subtract(x1);  
21.             }  
22.               
23.             if(dif.compareTo(precision)==-1){  
24.                 System.out.println(x1+","+x2);  
25.                 break;  
26.             }  
27.               
28.             x1 = x2;  
29.         }  
30.     }  
31. }