Noip05过河题解

• 题目描述 Description
  在河上有一座独木桥，一只青蛙想沿着独木桥从河的一侧跳到另一侧。在桥上有一些石子，青蛙很讨厌踩在这些石子上。由于桥的长度和青蛙一次跳过的距离都是正整数，我们可以把独木桥上青蛙可能到达的点看成数轴上的一串整点：0，1，……，L（其中L是桥的长度）。坐标为0的点表示桥的起点，坐标为L的点表示桥的终点。青蛙从桥的起点开始，不停的向终点方向跳跃。一次跳跃的距离是S到T之间的任意正整数（包括S,T）。当青蛙跳到或跳过坐标为L的点时，就算青蛙已经跳出了独木桥。
  题目给出独木桥的长度L，青蛙跳跃的距离范围S,T，桥上石子的位置。你的任务是确定青蛙要想过河，最少需要踩到的石子数。

• 输入描述 Input Description
  输入第一行有一个正整数L（1≤L≤109），表示独木桥的长度。第二行有三个正整数S，T，M，分别表示青蛙一次跳跃的最小距离，最大距离，及桥上石子的个数，其中1≤S≤T≤10，1≤M≤100。第三行有M个不同的正整数分别表示这M个石子在数轴上的位置（数据保证桥的起点和终点处没有石子）。所有相邻的整数之间用一个空格隔开。

• 输出描述 Output Description
  输出只包括一个整数，表示青蛙过河最少需要踩到的石子数。

• 样例输入 Sample Input
  10
  2 3 5
  2 3 5 6 7

• 样例输出 Sample Output
  2

• 数据规模
  对于30%的数据，L≤10000；
  对于全部的数据，L≤109。

• 题解
  如果S == T，只需考察石子的位置是否是S的倍数。若是，则ans++。
  如果S != T，对于30%的数据，直接动规就可以。
  f[x]=min{f[x−i]}+stone[x]
  其中(S≤i≤T)∧(i≤x≤L+T),stone[x]=x处有石子?1:0
  但对于100%的数据，L的值显然太大。仔细观察，发现石子的个数很少，109的区间里只有不到100个。所以很自然地想到离散化压缩状态。
  先求M=max{lcm(x,y)},(x,y∈[S,T])
  对石子k,k+1，如果(*):dist[k]+n∗M<dist[k+1](n为整数),可以把dist[k+1]缩短为dist[k]+(dist[k+1]−dist[k])modM。因为若(*)式成立，则n*M这段没有石子的距离可以由[S,T]内的数组合出来。所以这种放缩并不影响正确答案。把L一起放缩，只需令dist[M+1]=L，处理完dist数组后再令L=dist[M+1]即可。
  最后ans=min{f[i]}(i=放缩后的L→放缩后的L+T−1)

• Code

#include <cstdio>#include <cstring>#include <algorithm>using namespace std;const int maxn = 10000000, M = 90;int f[maxn];bool d[maxn];int l, a[102], s, t, m;void init(){    scanf("%d", &l);    scanf("%d%d%d", &s, &t, &m);    for(int i = 0; i < m; ++i) scanf("%d", &a[i]);    if(s == t)    {        int ans = 0;        for(int i = 0; i < m; ++i)           ans += (a[i] % s == 0 ? 1 : 0);        printf("%d\n", ans);        return;    }    a[m] = l; sort(a, a + m);    for(int i = 0; i < m; ++i)    {        if(a[i + 1] - a[i] > M) a[i + 1] = a[i] + (a[i + 1] - a[i]) % M;        d[a[i]] = true;    }    l = a[m];}void work(){    if(s == t) return;    memset(f, 0x3F, sizeof(f)); f[0] = 0;    for(int i = 1; i <= l + t; ++i)    {        for(int j = s; j <= t; ++j) if(i >= j)            f[i] = min(f[i], f[i - j]);        f[i] += d[i];    }    int ans = 0xFFFFFFF;    for(int i = l; i < l + t; ++i) ans = min(ans, f[i]);    printf("%d\n", ans); }int main(){    init();    work();    return 0;}