九章算法面试题71 平方根
来源:互联网 发布:php webservice接口 编辑:程序博客网 时间:2024/04/28 14:10
九章算法官网-原文网址
http://www.jiuzhang.com/problem/72/
题目
给定一个数,怎么样不用系统函数sqrt,可以求得它的平方根的答案。
在线测试本题
http://www.lintcode.com/en/problem/sqrtx/
解答
这道题目我们有两种方法:
方法一: 二分法。 我们知道假使y表示x的平方根的值,那么可以确定0<=y<x 的, 所以我们可以设一个min=0,max=x,然后每次用二分的方法求得mid=(min+max)/2,然后只要比较mid^2跟x比较,如果mid^2<x,那么max=mid继续二分,反之mid^2>x ,那么min=mid继续二分。直到找到一个mid使得它的平方最接近x就好。
方法二: 牛顿迭代法。 计算x^2 = n的解,令f(x)=x^2-n,相当于求解f(x)=0的解。首先先取一个点x0为一个较大的数, 如果x0不是解,做一个经过(x0,f(x0))这个点的切线,与x轴的交点为x1,看x1是不是解。如果不是,那么继续做一个经过(x1,f(x1))这个点的切线与x轴的交点为x2,然后看x2是不是解。然后一直重复这个过程,经过(xi, f(xi))这个点的切线方程为f(x) = f(xi) + f’(xi)(x - xi),其中f'(x)为f(x)的导数,本题中为2x。令切线方程等于0,即可求出xi+1=xi - f(xi) / f'(xi)。有了迭代公式,就可以用迭代公式无限逼近,求最后方程的解。
继续化简,xi+1=xi - (xi2 - n) / (2xi) = xi - xi / 2 + n / (2xi) = xi / 2 + n / 2xi = (xi + n/xi) / 2。
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