求Fibonacci数列的循环节



求Fibonacci数列的循环节

Mathematics, by zimpha.

 

距离上一篇指数循环节貌似过了好几天了，今天就来写一下如何求解Fibonacci数列循环节，这个循环节当然是指模一个数的条件下，然后我会介绍如何求广义Fibonacci数列的循环节。

我们先来看第一部分。

Fibonacci数列循环节

首先，我们知道Fibonacci数列的递推公式是： F n+1 =F n +F n−1 for n>1 

我们也知道Fibonacci数列的通项公式是： F n =15  √  (ϕ  n −ϕ ¯ ¯ ¯    n )  ，其中 ϕ=1+5  √ 2 ,ϕ ¯ ¯ ¯  =1−5  √ 2  

下面我们给出循环节的定义

Fibonacci数列模一个数 j  的循环节 m  是一个最小的整数满足： F m ≡0modj,F m+1 ≡1modj  。并且如果 k  是Fibonacci数列的一个循环节，那么 k  必是 m  的倍数。

接下来写几个下面需要用到的定理。

定理1

设 p  是一个质数， n,a  是一个正整数，如果 a≡1modp  ，那么 a p n  ≡1modp n+1  

这个定理可以用数学归纳法证明，这里就不再多说。

引理1

设 p  是一个质数， k  是一个正整数，如果 m  是 F n modp  的循环节，那么 ϕ mp k−1  ≡ϕ ¯ ¯ ¯   mp k−1  ≡1modp k  

证明：由于 F m =ϕ  m −ϕ ¯ ¯ ¯    m 5  √  ≡0modp  ，那么 ϕ  m ≡ϕ ¯ ¯ ¯    m modp  。

F m =F m+1 −F 1 =ϕ m+1 −ϕ ¯ ¯ ¯    m+1 5  √  −ϕ−ϕ ¯ ¯ ¯  5  √  =ϕ(ϕ m −1)−ϕ ¯ ¯ ¯  (ϕ ¯ ¯ ¯    m −1)5  √   

然后由于 ϕ  m ≡ϕ ¯ ¯ ¯    m modp  ，我们得到

F m ≡ϕ(ϕ m −1)−ϕ ¯ ¯ ¯  (ϕ m −1)5  √  =(ϕ m −1)(ϕ−ϕ ¯ ¯ ¯  )5  √  ≡(ϕ m −1)≡0modp 

于是我们得到 ϕ ¯ ¯ ¯    m ≡ϕ m ≡1modp 

利用定理1 ，我们就能得到 ϕ mp k−1  ≡ϕ ¯ ¯ ¯   mp k−1  ≡1modp k   。

定理2

设 j  是一个正整数，并且 j=∏ s i=1 p k i  i , p i  is a prime  ，设 m i   是 F n modp k i  i   的循环节。如果 m  是 F n modj  的循环节，那么 m=lcm(m 1 ,m 2 ,…,m s )  。

这个定理太显然了，就不证明了。

定理3

设 p  是一个不等于5的质数，那么5是 p  的平方剩余当且仅当 p≡±1mod5  ，5是 p  的非平方剩余当且仅当 p≡±2mod5  。

这个定理用二次互反律很容易证明。

有了上面定理我们知道当 p≡±1mod5  时， ϕ,ϕ ¯ ¯ ¯    是有限域 F p   的元素；当 p≡±2mod5  时， ϕ,ϕ ¯ ¯ ¯    不是有限域 F p   的元素。出现第二个case的时候，我们不好办，需要把 F p   扩展使其包含 ϕ,ϕ ¯ ¯ ¯    ，这个都是后话，现在先略过。

定理4

设 p  是一个质数， m  是 F n modp  的周期。如果 p≡±1mod5  ，那么 m|p−1  。

证明：因为 p≡±1mod5  ，那么 ϕ,ϕ ¯ ¯ ¯    是有限域 F p   的元素。于是利用费马小定理，我们可以得到

ϕ p−1 ≡1modp and ϕ ¯ ¯ ¯    p−1 ≡1modp 

然后就有 F p−1 ≡15  √  (ϕ p−1 −ϕ ¯ ¯ ¯    p−1 )≡15  √  (1−1)≡0modp 

并且

F p  ≡15  √  (ϕ p −ϕ ¯ ¯ ¯    p )≡15  √  (ϕ−ϕ ¯ ¯ ¯  )modp≡15  √  (1+5  √ −1+5  √ 2 )≡15  √  25  √ 2 modp≡1modp  

于是 p  是其中一个循环节，那么 m|p−1  。

定理5

设 p  是一个质数， m  是 F n modp  的周期。如果 p≡±2mod5  ，那么 m|2p+2  ，并且 2p+2m   是奇数。

我们知道 ϕ,ϕ ¯ ¯ ¯    不是有限域 F p   的元素。于是我们考虑下面这个有限域

F p (5  √ )={a+b5  √ ∣a,b∈F p } 

于是

ϕ p =(1+5  √ 2 ) p  =(12 +5  √ 2 ) p =(12 ) p +(5  √ 2 ) p =(12 ) p (1+5  √  p )=12 (1+5 p−12  5  √ )=12 (1−5  √ )=1−5  √ 2 =ϕ ¯ ¯ ¯    

同理可以得到 ϕ ¯ ¯ ¯    p =ϕ 

于是我们就可以得到下面的式子

F p ≡ϕ p −ϕ ¯ ¯ ¯    p 5  √  ≡ϕ−ϕ ¯ ¯ ¯  5  √  ≡(p−1)modpF p+1 ≡ϕ p+1 −ϕ ¯ ¯ ¯    p+1 5  √  ≡ϕ ¯ ¯ ¯  ϕ−ϕϕ ¯ ¯ ¯  5  √  ≡0modp  

并且有 F p+2 ≡F p +F p+1 ≡(p−1)modp  ，于是我们知道 m∤p+1  。

然后在观察下面的式子

F 2p+1  ≡ϕ 2p+1 −ϕ ¯ ¯ ¯    2p+1 5  √  ≡(ϕ p ) 2 ϕ−(ϕ ¯ ¯ ¯    p ) 2 ϕ ¯ ¯ ¯  5  √  modp≡ϕ ¯ ¯ ¯    2 ϕ−ϕ 2 ϕ ¯ ¯ ¯  5  √  ≡ϕϕ ¯ ¯ ¯  (ϕ ¯ ¯ ¯  −ϕ5  √  )modp≡(−1)(−F 1 )≡(−1)(−1)modp≡1modp  

F 2p+2 ≡ϕ 2p+2 −ϕ ¯ ¯ ¯    2p+2 5  √  ≡(ϕ p ) 2 ϕ 2 −(ϕ ¯ ¯ ¯    p ) 2 ϕ ¯ ¯ ¯    2 5  √  ≡ϕ ¯ ¯ ¯    2 ϕ 2 −ϕ 2 ϕ ¯ ¯ ¯    2 5  √  modp 

于是 F 2p+3 ≡F 2p+1 +F 2p+2 ≡1modp 

于是 2p+2  是一个循环节，因此 m∣2p+2  ，由于 m∤p+1  ， 2p+2m   是奇数。

好了现在，我们已经知道如何求Fibonacci模一个指数的循环节，现在我们考虑质数的幂次。

定理6

设 p  是一个质数，设 m  是 F n modp  的最小循环节，如果 m ′   是 F n modp k   的最小循环节，那么 m ′ ∣mp k−1   。

证明：由引理1我们可以知道

ϕ mp k−1  ≡ϕ ¯ ¯ ¯   mp k−1  ≡1modp k  

于是

F mp k−1  ≡ϕ mp k−1  −ϕ ¯ ¯ ¯   mp k−1  5  √  ≡1−15  √  ≡0modp 

并且

F mp k−1 +1 ≡ϕ mp k−1 +1 −ϕ ¯ ¯ ¯   mp k−1 +1 5  √  ≡ϕ−ϕ ¯ ¯ ¯  5  √  ≡1modp 

显然我们可以得到 m ′ ∣mp k−1   。

补充1：对于我们目前知道的所有素数，都有 m ′ =mp k−1   ，因此我们在实际做题目的时候可以直接当做等于来用。

补充2： m ′ =mp k−1   成立的确切条件是 F n modp  的循环节和 F n modp 2   的循环节不同。

关于Fibonacci部分已经搞定了，我们来总结一下，定义 P(m)  为模 m  的循环节。

1. P(m)=lcm(P(p k 1  1 ),P(p k 2  2 ),…,P(p k s  s )) 
2. P(p k )=P(p)p k−1 , if P(p 2 )≠P(p) 
3. P(p)∣p−1,p≡±1modp 
4. P(p)∣2p+2,p≡±2modp 

下面开始第二部分，广义Fibonacci数列的循环节。

广义Fibonacci数列的循环节

这个等有空再写

现在先填上一篇链接http://blog.csdn.net/acdreamers/article/details/25616461

这里的结论基本上和Fibonacci数列的结论没有什么区别，证明我就不写了，不理解的地方可以参考上面贴出的链接。

今天来补上这个部分，然后给一些规范的定义。

首先定义一下广义Fibonacci数列： G n+1 =AG n +BG n−1  

然后设 p  是一个素数， K A,B (p)  表示 G n modp  的周期。

好了，我们开始求广义Fibonacci数列的循环节，由上面的递推是我们可以得到这个数列的递推矩阵

U=[A1 B0 ] 

并且可以知道这个矩阵的特征根 λ 1 ,λ 2   ，是方程 x 2 −Ax−B=0  的两根。

根据平方剩余的知识，我们知道 λ 1 ,λ 2   可以在域 Z/pZ  中表示，当且仅当 Δ=A 2 +4B  是 modp  的平方剩余。

类似定理4，我们可以得到以下定理。

定理7

设 p  是一个质数，如果 Δ  是 modp  的平方剩余，那么 K A,B (p)∣p−1  .

然后我们也有几个引理。

引理2

设 p  是一个奇质数，如果 Δ  是 modp  的非平方剩余，那么 (Δ − −  √ ) p ≡−Δ − −  √ modp  。

证明：因为 Δ  是 modp  的非平方剩余，根据欧拉准则，我们有

Δ p−12  ≡−1modp 

于是

(Δ − −  √ ) p =Δ − −  √ ⋅(Δ − −  √ ) p−1 =Δ − −  √ ⋅(Δ) p−12  ≡−Δ − −  √ modp 

引理3

如果 λ 1 ,λ 2   ，是方程 x 2 −Ax−B=0  在域 F=F p 2    的两根，那么 λ p+1 1 =λ p+1 2   .

证明：首先我们知道 λ 1 +λ 2 =A  ，于是

λ p+1 1  =(A−λ 2 ) p+1 =(A−λ 2 ) p (A−λ 2 )=A(1−λ 2 −λ p 2 )+λ p+1 2 =λ p+1 2   

定理8

设 p  是一个质数，如果 Δ  是 modp  的非平方剩余，那么 K A,B (p)∣2(p−1)⋅ord p (B 2 )  .

然后有一个定理：

令 ord n (a)=t  ， u  是一个正整数，那么 ord n (a u )=t/(t,u)  .

于是定理8可以修改为以下形式

设 p  是一个质数，如果 Δ  是 modp  的非平方剩余，那么 K A,B (p)∣p 2 −1  .

因为 ord p (B 2 )|ϕ(p)  ，然后根据上面定理可知 ord p (B 2 )≤ϕ(p)/2  ，于是

2(p−1)⋅ord p (B 2 )≤2(p−1)(p−1)/2=p 2 −1 and 2(p−1)⋅ord p (B 2 )∣p 2 −1 

然后对于其他的一些东西就和Fibonacci数列类似了，参照上面的定理即可。

 

貌似这篇文章涉及了一些平方剩余和原根的知识，下次就写一篇科普一下这些知识。