数理统计
来源:互联网 发布:德兴软件ui设计师 编辑:程序博客网 时间:2024/05/18 00:42
当研究并解决一个实际问题时, 我们会
遇到下面问题:
• 1. 这个随机现象可以用什么样的分布律
来刻划,这种分布律的选用合理吗?
• 2. 所选用的这一分布律的参数是多少?
如何估计和确定这些参数?
如何利用数据资料,作出尽可能精确可
靠的统计结论(统计推断):
1) 估计——从局部观测资料的统计特征,推断总体的特征(分布与矩);
2)假设检验——依据抽样数据资料,对总体的某种假设作检验,从而决定对此假定是拒绝抑或接受.
数理统计的基本概念
总体:研究对象全体; 也称母体, 记作
S .
样本:总体中抽出作观测的个体;也称子样,记ω
样本容量:抽取的个体数目;也称样本大小.
例子
随机抽5支,得寿命数据(称为观察[测]值):
一般记为,
又抽5支,
再抽5支,
…… ……
如此继续. 各组观察值彼此不同.
如此继续. 每组中的第一支灯的寿命,
也彼此不同. 这样,泛指所抽取的第一支荧光灯的寿命应是一个
如此得一组
称为大小为5的样本.
一般地则有大小(容量)为
抽取的样本如能切实保证其随机性,那么应该彼此独立,且能反映总体的随机规律性,即所有样本彼此独立且与总体同分布. 这样的样本,我们称之为简单样本. 这种抽样方法,叫简单抽样.
注意,在有限总体中,各观察结果可能不独立.
样本的数字特征与分布
最简单又方便的样本函数
由于样本“平等”,线性组合中应有相等的权系数.
一次时:样本的算术平均值
X¯¯¯ ;
二次时:中心化后的样本二阶中心矩S2n .
设X1,…,Xn 为总体S 的大小为n 的样本, 分别称
X¯¯¯=1n∑i=1nXi S2=1n−1∑i=1n(Xi−X¯¯¯)2
为样本均值和*样本方差(样本方差除以n-1的原因),而依次称
Mk=1n∑i=1nXki S2n=1n∑i=1n(Xi−X¯¯¯)2
为样本的k阶矩和样本的二阶中心矩.记号:总体k阶矩:
μk=EXk∫+∞−∞xkdFX(x)
总体的k阶中心矩:
σk=∫+∞−∞(x−EX)kdFX(x)
μ=μ1,σ2=σ2 .
注意
1)
2) 比较总体的期望
1. 样本的均值、方差及
2. 总体的期望、方差及
3)代入观察值, 有相应的样本矩的观察值
性质 如果总体
顺序统计量与经验df
仍从观察值出发设法求总体分布. 以五支荧光灯寿命数据
其
设
称为由
将以从小到大为序重新排列的一个样本,称为顺序统计量,专记为
下面一个非常重要的定理确立经验
抽样分布与统计量
正态总体常用的样本函数
1.设总体
样本均值
2.
3.
样本均值与样本方差独立, 且
在
4.
如果
即自由度
5.
如果
为自由度为n,m的F分布
性质
• t 分布是对称的,且
• t 分布只有
•
•
对给定的实数
成立的点
使
成立的点
百分位点的值,可由表查得.
例题:
例题1:
设
的分布。
解:
由题意可知
又因为
故由t分布定义可得
例题2:
设
试求下列样本函数的分布
1)
2)
解:
1)
分子服从
所以整个式子服从
2)
分母部分变成:
分子部分变成:
因此原式变成:
服从
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